Log In     Register    

српски serbian srpski     english ufl

cosak

IMOmath

Forum     Matematichka pitanja

1-25 26-26


Matematichki forum:

Ovde mozhete da postavljate pitanja iz matematike i da dajete odgovore na pitanja koja su drugi postavili.

Posted on: 03/30/2012 at 16:03:01     Posted by maticivan

Shta je sve potrebno proveriti pri reshavanju nejednakosti Lagranzhovim mnozhiocima, pre svega me zanima neshto vishe o proveri na granicama intervala.
\[ \]
Primer(JSMO 2011.) Odrediti najmanju vrednost izraza \( x+y+z+\frac{1}{xyz} \) za pozitivne realne brojeve \( x,y,z \) sa osobinom \( x^2+y^2+z^2=1 \).
\[ \]
Uochimo Lagranzhovu funkciju \( F(x,y,z)=x+y+z+\frac{1}{xyz}+\lambda (x^2+y^2+z^2-1) \) koja dostizhe minimum kada je:
\( F_x=1-\frac{1}{x^2yz}+2\lambda x = 0 ,F_y=1-\frac{1}{y^2xz}+2\lambda y = 0 ,F_z=1-\frac{1}{z^2xy}+2\lambda z = 0 \). Sada dobijamo \( \frac{x^2yz-1}{x^2}=\frac{y^2zx-1}{y^2}=\frac{z^2xy-1}{z^2} \) odakle dobijamo da je jedino reshenje sistema (pod uslovom da je \( x^2+y^2+z^2=1 \)) kada su svi jednaki pa zamenom dobijamo da je \( F(x,y,z)\geq F\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{10\sqrt{3}}{9} \).
\[ \]
Sada me zanima koje josh sluchajeve treba da proverim da bih bio siguran da je ovo zapravo minimum (da li je to mozhda sluchaj kada \( x\rightarrow 1 \) i \( y,z\rightarrow 0^{+} \)).


Posted on: 06/16/2012 at 17:06:55     Posted by Maksim

Maksime, stavio si me u nezgodnu situaciju da pricham o Lagranzhovim mnozhiocima. Zbog toga moram da pochnem jednim upozorenjem.

Komisija ne voli da vidi kad srednjoshkolac koristi diferencijalni rachun, posebno diferencijalni rachun funkcija vishe promenljivih. Lagranzhovi mnozhioci spadaju u kategoriju onoga shto komisija ne voli da vidi. To znachi da c1e komisija svaki moguc1i znak nepreciznosti protumachiti kao nerazumevanje teorije. E, to ne valja za onoga kome je cilj da osvoji puno bodova.

Onaj ko hoc1e mozhe da nauchi diferencijalni rachun funkcija vishe promenljivih. Neophodan uslov je, naravno, razumevanje diferencijalnog rachuna jedne promenljive, i ovaj sajt c1e da sadrzhi neki takav materijal. Ova poruka je ujedno i poziv dobrovoljcima koji znaju o chemu pricham da se jave i pochnu da pishu neki tekst o diferencijalnom rachunu.

Ovo je pouchan primer za Lagranzhove mnozhioce: zadatak je jednostavan bez njih (probaj!), a prilichno nezgodan sa njima.

E, sad ono shto si trazhio:

Prvo zadatak treba prevesti na jezik problema minimizacije funkcije.

Pretpostavimo da je \( g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 \). Nac1i minimum funkcije \( f(x,y,z)=x+y+z+\frac1{xyz} \), gde su \( x \), \( y \) i \( z \) pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju uslov \( g(x,y,z)=0 \).

Reshenje. Sporna teorema glasi: Ukoliko funkcija \( f \) dostizhe ekstremnu vrednost u unutrashnjosti oblasti u kojoj je definisana, onda se ta ekstremna vrednost dostizhe u jednoj od kritichnih tachaka.

Kritichna tachka je svaka uredjena trojka \( (x,y,z)\in\mathbb R^3 \) za koju je ispunjen jedan od sledec1ih sedam uslova:

  • \( 1^{\circ} \) funkcija \( f(x,y,z) \) nije diferencijabilna

  • \( 2^{\circ} \) funkcija \( g(x,y,z) \) nije diferencijabilna

  • \( 3^{\circ} \) gradijent \( \nabla f(x,y,z) \) nije neprekidan

  • \( 4^{\circ} \) gradijent \( \nabla g(x,y,z) \) nije neprekidan

  • \( 5^{\circ} \) gradijent \( \nabla f(x,y,z) \) je nula-vektor, tj. \( \nabla f(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 6^{\circ} \) \( \nabla g(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 7^{\circ} \) Vektori \( \nabla f(x,y,z) \) i \( \nabla g(x,y,z) \) su razlichiti od \( \overrightarrow{0} \) i paralelni.

Bolna istina: Teorema ne kazhe nishta o moguc1im maksimumima i minimumima u tachkama koje nisu u unutrashnosti. To znachi da ako je jedna od koordinata \( (x,y,z) \) bliska nuli, moramo neshto drugo da radimo. U ovom sluchaju to je jednostavno: Mozhemo da kazhemo sledec1e: Ako je jedan od brojeva \( x \), \( y \), ili \( z \) manji od \( 1/100 \), tada je \( \frac1{xyz}\geq 100\cdot \frac1{xy}\geq 100 \). Poshto trazhimo apsolutni minimum, i poshto je \( f(1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3)< 100 \), onda je apsolutni minimum ujedno i kritichna tachka u unutrashnosti domena \[ \{(x,y,z): x> 1/100, y> 1/100, z > 1/100\}.\]

Chini mi se da je ovo ono shto si trazhio. Medjutim, hajde da zavrshim pisanje reshenja da i ostali znaju o chemu se radi:

Polazimo od toga da je \[ \nabla f(x,y,z)=\left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle \quad \mbox{i} \] \[ \nabla g(x,y,z)=\langle 2x,2y,2z\rangle=2\langle x,y,z\rangle.\] Sluchajevi \( 1^{\circ} \)- \( 6^{\circ} \) se lako ispituju i vidi se da nema kritichnih tachaka ni u jednom od njih.

Vektori su paralelni ukoliko postoji skalar \( \lambda \neq 0 \) takav da je \( \nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z) \), tj. ukoliko postoji skalar \( \lambda\neq 0 \) takav da je \[ \left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle =2\lambda\cdot\langle x,y,z\rangle.\]

Nazovimo \( \mu=2\lambda \). Popularan nachin pisanja prethodne vektorske jednachine je:

\[ 1-\frac1{x^2yz}=\mu x,\] \[ 1-\frac1{xy^2z}=\mu y,\] \[ 1-\frac1{xyz^2}=\mu z.\]

Takodje, \( (x,y,z) \) moraju da zadovoljavaju uslove zadatka: \( g(x,y,z)=0 \), tj. \( x^2+y^2+z^2=1 \).

Poshto je \( x\neq 0 \), prvu jednachinu smemo da podelimo sa \( x \) i prevedemo je u ekvivalentnu: \( \frac1x-\frac1{x^3yz}=\mu. \) Na slichan nachin druga jednachina postaje \( \frac1y-\frac1{xy^3z}=\mu. \) Poslednje dve relacije daju

\[ \frac1x-\frac1y=\frac1{xyz}\cdot\left(\frac1{x^2}-\frac1{y^2}\right).\]

Sada razmatramo dva sluchaja: Kada je \( x=y \) i kada je \( x\neq y \).

  • Posmatrajmo prvo sluchaj \( x=y \). Sada problem postaje: Nac1i maksimum funkcije \( \varphi(x,z)=2x+z+\frac1{x^2z} \) pod uslovom \( 2x^2+z^2=1 \).

    Nazovimo \( \psi(x,z)=2x^2+z^2 \) i ponovo trazhimo kritichne tachke. Sluchajevi \( 1^{\circ} \)-\( 6^{\circ} \) su jednostavni. Ostaje da nadjemo one parove \( (x,z) \) za koje je \( \nabla \varphi(x,z)\|\nabla \psi(x,z) \), tj. za koje postoji \( \nu\neq 0 \) takav da je \[ \left\langle 2-\frac2{x^3z}, 1-\frac1{x^2z^2}\right\rangle=\nu\langle 4x,2z\rangle.\] Poslenja relacija daje: \( 1-\frac1{x^3z}=2\nu x \) i \( 1-\frac1{x^2z^2}=2\nu z \). Mnozhenjem prve jednachine sa \( x \) a druge sa \( z \) dobijamo: \[ x-\frac1{x^2z}=2\nu x^2\quad\quad\quad\quad\quad (1)\] \[ z-\frac1{x^2z}=2\nu z^2. \quad\quad\quad\quad\quad (2)\] Oduzimanjem (1) i (2) dobijamo: \[ x-z=2\nu(x+z)(x-z).\] Ako je \( x=z \) dobijamo \( x=z=y=\frac1{\sqrt 3} \) i to je jedna kritichna tachka. Ako je \( x\neq z \), tada dobijamo \( 2\nu(x+z)=1 \). Ako jednachinu (1) pomnozhimo sa 2 i dodamo jednachini (2) dobijamo

    \[ 2x+z-\frac3{x^2z}=2\nu\cdot (2x^2+z^2)=2\nu=\frac1{x+z}.\]

    Sada obe strane pomnozhimo sa \( x+z \) i dobijamo: \[ 2x^2+2xz+zx+z^2-\frac3{xz}-\frac3{x^2}=1\] \[ \Leftrightarrow xz=\frac1{xz}+\frac1{x^2}. \] Poslednja jednachina nema reshenja za \( x< 1 \) i \( y< 1 \) jer je \( xz< 1 \), a \( \frac1{xz}+\frac1{x^2}> 1+0=1 \).

  • Posmatrajmo sada sluchaj \( x\neq y \). Tada je \( x^2y^2z=x+y \). Sluchaj \( y=z \) se razmatra kao pre. Pretpostavimo zato da je \( y\neq z \). Na analogan nachin kao gore, dobijamo \( xy^2z^2=y+z \). Mnozhenjem obe strane sa \( x \) donosi: \( x^2y^2z^2=yx+xz \), dok jednachina \( x^2y^2z=x+y \) je ekvivalentna sa \( x^2y^2z^2=xz+yz \). Oduzimanjem dobijamo: \( yx=yz \), odnosno zbog \( y\neq 0 \): \( x=z \), shto se razmatra kao sluchaj gore.

Prema tome, minimum funkcije se dostizhe za \( x=y=z=\frac1{\sqrt 3} \), i iznosi \( f\left(\frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}\right)=3\sqrt 3+3\sqrt 3=6\sqrt 3 \).



Posted on: 06/19/2012 at 01:06:10     Posted by maticivan

Hvala na odgovoru i slazhem se sa tim da bi bilo lepo da postoji neki materijal o primeni diferencijalnog rachuna na ovom sajtu.
\[\]
Zadatak koji sam dao chinio mi se kao dobar primer za primenu Lagranzhovih mnozhioca, ali naravno da mozhe da se reshi i jednostavnom primenom nejednakosti izmedju sredina (ipak je zadatak bio na juniorskom takmichenju).
\[\]
Chini mi se da je mogao malo brzhe da se dovrshi prethodni zadatak posle dela sa \( \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{xyz}\left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right) \) \( \Longleftrightarrow (x-y)\left(\frac{x+y-x^2y^2z}{x^2y^2z}\right) \) ako primetimo da je \( x+y-x^2y^2z> 0 \) pod pretpostavkom da je \( x\geq y\geq z \).

Posted on: 06/19/2012 at 05:06:29     Posted by Maksim

Na koliko nachina se brojevi -9, -8, ...-1, 1, 2 ... 9 mogu rasporediti na temena konveksnog 18-ugla tako da zbir u susednim temenima ne bude jednak nuli ? .

Verujem da treba krenuti od svih rasporeda, pa odbiti one sa nulama ali kako doc1i do njihovog broja ?

Posted on: 08/18/2012 at 15:08:24     Posted by nepogoda

Ovaj zadatak se jednostavno svodi na {w ménage problem}.

Pretpostavimo da su \( 1 \), \( 2 \), \( \dots \), \( 9 \) mushkarci, a \( -1 \), \( -2 \), \( \dots \), \( -9 \) njihove zhene. Zadatak je sada ekvivalentan sledec1em:

Na koliko nachina se devet brachnih parova mogu rasporediti oko okruglog stola tako da niko ne sedi pored svog brachnog druga?

Zadatak se reshava metodom ukljuchivanja i iskljuchivanja, i krajnji rezultat je ogroman zbir koji nije moguc1e srediti i svesti na lepu formulu. O ovome mozhe vishe da se prochita u radu {w Non-sexist solution of the ménage problem} koga su napisali {w Kenneth P. Bogart} i {w Peter G. Doyle}.



Posted on: 11/16/2012 at 16:11:55     Posted by maticivan

Poshtovani ,

imam jedno matematichko pitanje. Naime zanima me da li je moguc1e odrediti ostatak pri deljenju 3^1000 sa 125. (Uz pomoc1 kongruencija, ako je moguc1e).

Hvala unapred na odgovoru.

Milan Ch.

Posted on: 02/28/2014 at 13:02:35     Posted by Milan C

Po Ojlerovoj teoremi je \( 3^{\varphi(125)}=3^{100}\equiv1\pmod{125} \). Dakle, \( 3^{1000}=(3^{100})^{10}\equiv1^{10}=1 \pmod{125} \). Mozhe?

Ojlerova teorema: ako je \( n \) prirodan broj i \( a \) ceo broj uzajamno prost sa \( n \), onda je \( a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n \).
Pritom se \( \varphi(n) \) definishe kao \( \varphi(n)=n(1-\frac 1{p_1})(1-\frac 1{p_2})\cdots(1-\frac 1{p_k}) \), gde je \( n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} \) kanonska faktorizacija broja \( n \) na proste chinioce.

Izvini zbog automatskog c1irilichenja.

Posted on: 03/03/2014 at 21:03:48     Posted by dusandjukic

OK.

Mnogo ste mi pomogli.
Ojlera se nisam setio.

Pozdrav!

Posted on: 03/04/2014 at 13:03:18     Posted by Milan C

Имам још једно питање за Вас....Овога пута мало тежи задатак.Наиме ,
Нека су ,АА1 , ББ1 ,  и ЦЦ1 висине троугла АБЦ, а ,А1А2 , Б1Б2  и Ц1Ц2 пречници кружнице 9
тачака за троугао АБЦ. Докажите да праве , АА2 , ББ2 и ЦЦ2 пролазе кроз једну
заједничку тачку.

Posted on: 03/07/2014 at 16:03:06     Posted by Milan C

Uh, chekaj... koliko znash geometrije? Znash li shta su izogonalno spregnute tachke? Ovo je zadatak relativno visokog nivoa i ne vidim kako mozhe da se reshi na nivou B kategorije.

Teorema o izogonalno spregnutim tachkama: Neka je \( P \) proizvoljna tachka u ravni trougla \( ABC \), a \( s_a,s_b,s_c \) redom simetrale njegovih uglova kod temena \( A,B,C \) (unutrashnje ili spoljashnje, svejedno je). Tada se prave simetrichne pravim \( AP,BP,CP \) redom u odnosu na \( s_a,s_b,s_c \) seku u jednoj tachki, recimo \( P^{\prime} \), ili su sve tri paralelne. Kazhemo da je tachka \( P^{\prime} \) izogonalno spregnuta tachki \( P \) u trouglu \( ABC \).

Reshenje zadatka: Neka je \( H \) ortocentar trougla \( ABC \). Sredishte \( M \) duzhi \( AH \) takodje lezhi na krugu devet tachaka. Poznato je da je prava \( BC \) simetrala spoljashnjeg ugla \( B_1A_1C_1 \). Kako je prava \( MA_2 \) simetrichna pravoj \( BC \) u odnosu na centar kruga devet tachaka, sledi da je i \( MA_2 \) simetrala spoljashnjeg ugla \( B_2A_2C_2 \). Kako je \( \angle AMA_2=\angle A_1MA_2=90^\circ \), trouglovi \( AMA_2 \) i \( HMA_2 \) su podudarni, tj. \( AA_2 \) i \( HA_2 \) su simetrichne u odnosu na simetralu ugla \( B_2A_2C_2 \). Prema tome, tachka \( J \) izogonalno spregnuta tachki \( H \) u trouglu \( A_2B_2C_2 \) lezhi na pravoj \( AA_2 \). Analogno i prave \( BB_2 \) i \( CC_2 \) prolaze kroz \( J \). \( \Box \)

Posted on: 03/08/2014 at 22:03:54     Posted by dusandjukic

Имам још једно ,,велико питање,,.Наиме занима ме докаѕ следеће тврдње : АКО ЈЕ У БРОЈЕВНОМ СИСТЕМУ СА ОСНОВОМ Б ЗБИР ЦИФАРА БРОЈА А ДЕЉИВ СА М , И АКО ЈЕ БРОЈ Б-1 ДЕЉИВ СА М , ТАДА М ДЕЛИ А.

Како доказати малопрепоменуту тврдњу ?
Како уопште разумети представљање броја у бројевном систему са основом 2014?

Хвала унапред на одговору.

Posted on: 03/10/2014 at 06:03:34     Posted by Milan C

Pa da vidimo shta je predstavljanje broja \( a \) u sistemu sa osnovom \( b \). Neka je \( a=a_1\cdot b+d_0 \) deljenje broja \( a \) brojem \( b \) sa ostatkom (\( d_0\in\{0,1,\dots,b-1\} \)). Nastavljamo postupak: \( a_1=a_2\cdot b+d_1 \), \( a_2=a_3\cdot b+d_2 \), itd. (\( d_1,d_2,\dots\in\{0,1,\dots,b-1\} \)), sve dok ne dobijemo \( a_{n+1}=0 \). Tada je \( a=a_1b+d_0=a_2b^2+ d_1b+d_0=\cdots=d_nb^n+d_{n-1}b^{n-1}+\cdots+d_1b+d_0=(\overline{d_nd_{n-1}\dots d_1d_0})_b \).

Kako zapisujesh npr. broj \( 57206 \) u sistemu sa osnovom 10? Cifre su brojevi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
\( 57206=5720\cdot10+\mathbf{6} \), \( 5720=572\cdot10+\mathbf{0} \), \( 572=57\cdot10+\mathbf{2} \), \( 57=5\cdot10+\mathbf{7} \), \( 5=0\cdot10+\mathbf{5} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{57206})_{10}} \).
A kako zapisujesh 57206 u sistemu sa osnovom 9? Sada imash samo 9 cifara, i to su 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
\( 57206=6356\cdot9+\mathbf{2} \), \( 6356=706\cdot9+\mathbf{2} \), \( 706=78\cdot9+\mathbf{4} \), \( 78=8\cdot9+\mathbf{6} \), \( 8=0\cdot9+\mathbf{8} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{86422})_9} \).
A u osnovi 2014? Imamo 2014 moguc1ih cifara; poshto nemamo toliko slova, pisac1emo ih kao (0),(1),(2),...,(2013).
\( 57206=28\cdot2014+\mathbf{814} \), \( 28=0\cdot2014+\mathbf{28} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{(28)(814)})_{2014}} \).

A sada da dokazhemo tvoj kriterijum deljivosti.
Dato ti je \( a=(\overline{d_n\dots d_1d_0})_b \), \( m\mid b-1 \) i \( m\mid d_n+\cdots+ d_1+d_0 \). Kako je \( b\equiv1\pmod m \), sledi \( b^k\equiv1\pmod m \) za sve \( k \), pa je tako \( a=d_nb^n+\cdots+d_1b+d_0\equiv d_n+\cdots+d_1+d_0 \equiv0\pmod m \), tj. \( m\mid a \). \( \Box \)

Preporuchujem Uvod u teoriju brojeva u izdanju Drushtva matematichara Srbije (sveska 15).

Posted on: 03/10/2014 at 16:03:26     Posted by dusandjukic

Поштовани , још два метематичка питања од мене.

1.Ако је Р(н) број релација еквиваленције које се могу дефинисати на скупу од н елемената , доказати да је
Р(н+1)=∑_(н,к=0)* (н над к) * Р(к) , Р(0)=1.

2.Доказаати ,,полиномну,, формулу :

(x1+x2+...+xм)^н=∑_(к1+к2+...+км=н , Ки веће или једнако од 0 , и=1,2,...,м)н!*(x1^к1*x2^к2*...*xм^км)/к1!*к2!*...*км! . (Преферирао би доказ математичком индукцијом).



Хвала унапред на одговору.

Милан М. Чугуровић

Posted on: 04/10/2014 at 07:04:29     Posted by Milan C

1. Broj klasa ekvivalencije.
\( P(n) \) je tzv. Belov broj. Imash dokaz u Kombinatorici u izdanju DMS, a ide ovako: Neka je skup u razmatranju \( A \), \( |A|=n+1 \), a \( x \) njegov element. Taj element \( x \) pripada nekoj klasi ekvivalencije \( X \). Ako je \( |X|=k+1 \), onda \( X \) mozhe da se odabere na \( \binom nk \) nachina (tako da sadrzhi \( x \)), a relaciju ekvivalencije na ostatku skupa, tj. na skupu \( A\setminus X \) koji ima \( n-k \) elemenata, mozhemo postaviti na \( P(n-k) \) nachina. Tako za dato \( k \) imamo \( \binom nk P(n-k) \) relacija ekvivalencije, pri chemu \( k \) ide od \( 0 \) do \( n \). Tako je \( P(n) \) ukupno jednako \( \sum_{k=0}^n \binom nk P(n-k) \).

2. Polinomna formula.
Formula vazhi za \( m=2 \). Pretpostavimo da vazhi za \( m-1 \) i dokazhimo je za \( m \). Po induktivnoj pretpostavci je \[ (x_1+\cdots+x_m)^n=(x_1+\cdots+x_{m-2}+(x_{m-1}+x_m))^n=\sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}(x_{m-1}+x_m)^{k_{m-1}^{\prime}}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}\sum_{k_{m-1}+k_m=k_{m-1}^{\prime}}\frac{k_{m-1}^{\prime}!}{k_{m-1}!k_m!}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}!k_m!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}.\]


Posted on: 04/11/2014 at 20:04:56     Posted by dusandjukic

Поштовани, имам једно математичко питање за Вас: ако је b поредак броја a по модулу p( p је непаран прост број) и p^n||a^b - 1 ,доказати да је (p^m) * b поредак броја a по модулу p^(n +m).Сви поменути бројеви су природни,док m може бити и нула. Хвала унапред.

Posted on: 04/15/2014 at 22:04:35     Posted by Warlus

Постовани , имам нерешен задатак :

На једној тежишној линији троугла АБЦ одабрати тачку М тако да збир

ѕ = МА^2+MB^2+MЦ^2 има минималну вредност.
РЕШЕЊУ ДАТИ ГЕОМЕТРИЈСКУ ИНТЕРПРЕТАЦИЈУ.

Интересантна је прича око овог задатка . Ниме задатак се појавио 1956. године на пријемном испиту за етф и од 390 такмичара ни један га није решио у потпуности.

Хвала унапред на одоговору.

Милан М. Чугуровић

Posted on: 04/17/2014 at 15:04:47     Posted by Milan C

Spolja pripisana kruzhnica trougla....nishta ne mogu da nadjem o njoj samo da
dodiruje stranicu trougla u dodirnoj tachki a da su ostale 2 stranice tog
trougla tangente na tu kruzhnicu.Kako rachunamo njen poluprechnik?Kakva je veza stranica trougla i popuprechnika?Kako je konstruishemo?I postoje li josh kakve osobine te
kruzhnice?

Posted on: 11/10/2014 at 14:11:18     Posted by Dalibor D

To je prilichno osnovni pojam u geometriji trougla, pa o njemu ima mnogo da se pricha. Centar pripisanog kruga u trouglu \( ABC \) naspram temena \( A \) je u tachki preseka unutrashnje simetrale ugla \( BAC \) i spoljashnjih simetrala uglova \( ABC \) i \( ACB \). Poluprechnik mu je \( \frac{2P}{b+c-a} \).

Snalazish se sa engleskim? {w http://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_and_excircles_of_a_triangle}
Ovde nema mnogo, ali bar je na srpskom: {w http://www.elemenat.com/archive/nauka/math/trougao.htm}

Posted on: 11/10/2014 at 16:11:16     Posted by dusandjukic

Хтео бих да вас питам како се решава следећи задатак (1. разред А категорија,општинско 2002.):
Доказати да \( 3n^2+3n+7 \) не може бити куб ниједног природног броја.

Posted on: 12/09/2015 at 09:12:39     Posted by Grigorij Perelman

По модулу 9. Куб celog броја дајe остатке \( 0,1,8 \), а број \( 3n^2+3n+7 \) daje ostatak \( 4 \) ili \( 7 \).

Posted on: 12/09/2015 at 14:12:01     Posted by dusandjukic

Да ли постоји 10 природних бројева таквих да ниједан од њих није дељив ниједним од преосталих 9 бројева, а да су квадрати тих бројева дељиви са свих преосталих 9 бројева?

Posted on: 01/20/2017 at 11:01:56     Posted by nujabes

Ti znash odgovor? Da ne jurim.

Pa dobro, npr. \( 2^{10}\cdot3^{19},2^{11}\cdot3^{18},\dots,2^{19}\cdot3^{10} \).

Posted on: 01/20/2017 at 16:01:00     Posted by dusandjukic

Имам питање у вези са доказом једног лимеса. Реч је о \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} \]. Да ли је овај доказ исправан: \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=\lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}}=a^{\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}}=a^0=1\]. Питам зато што сам у некој литератури нашао нешто компликованији доказ, па се питам да ли се може упростити на овај начин.

Posted on: 05/21/2017 at 18:05:24     Posted by J.Gr. Dr.

Ovaj dokaz je u redu jer je \( f(x)=a^x \) neprekidna funkcija. Taj drugi dokaz nisam video, ali verujem da je i on u redu.

Posted on: 05/23/2017 at 19:05:57     Posted by dusandjukic


cosak
cosak cosak