Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

IMOmath

Forum     Matematička pitanja




Matematički forum:

Ovde možete da postavljate pitanja iz matematike i da dajete odgovore na pitanja koja su drugi postavili.

Postavljeno: 03/30/2012 u 16:03:01     Autor maticivan

Šta je sve potrebno proveriti pri rešavanju nejednakosti Lagranžovim množiocima, pre svega me zanima nešto više o proveri na granicama intervala.
\[ \]
Primer(JSMO 2011.) Odrediti najmanju vrednost izraza \( x+y+z+\frac{1}{xyz} \) za pozitivne realne brojeve \( x,y,z \) sa osobinom \( x^2+y^2+z^2=1 \).
\[ \]
Uočimo Lagranžovu funkciju \( F(x,y,z)=x+y+z+\frac{1}{xyz}+\lambda (x^2+y^2+z^2-1) \) koja dostiže minimum kada je:
\( F_x=1-\frac{1}{x^2yz}+2\lambda x = 0 ,F_y=1-\frac{1}{y^2xz}+2\lambda y = 0 ,F_z=1-\frac{1}{z^2xy}+2\lambda z = 0 \). Sada dobijamo \( \frac{x^2yz-1}{x^2}=\frac{y^2zx-1}{y^2}=\frac{z^2xy-1}{z^2} \) odakle dobijamo da je jedino rešenje sistema (pod uslovom da je \( x^2+y^2+z^2=1 \)) kada su svi jednaki pa zamenom dobijamo da je \( F(x,y,z)\geq F\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{10\sqrt{3}}{9} \).
\[ \]
Sada me zanima koje još slučajeve treba da proverim da bih bio siguran da je ovo zapravo minimum (da li je to možda slučaj kada \( x\rightarrow 1 \) i \( y,z\rightarrow 0^{+} \)).


Postavljeno: 06/16/2012 u 17:06:55     Autor Maksim

Maksime, stavio si me u nezgodnu situaciju da pričam o Lagranžovim množiocima. Zbog toga moram da počnem jednim upozorenjem.

Komisija ne voli da vidi kad srednjoškolac koristi diferencijalni račun, posebno diferencijalni račun funkcija više promenljivih. Lagranžovi množioci spadaju u kategoriju onoga što komisija ne voli da vidi. To znači da će komisija svaki mogući znak nepreciznosti protumačiti kao nerazumevanje teorije. E, to ne valja za onoga kome je cilj da osvoji puno bodova.

Onaj ko hoće može da nauči diferencijalni račun funkcija više promenljivih. Neophodan uslov je, naravno, razumevanje diferencijalnog računa jedne promenljive, i ovaj sajt će da sadrži neki takav materijal. Ova poruka je ujedno i poziv dobrovoljcima koji znaju o čemu pričam da se jave i počnu da pišu neki tekst o diferencijalnom računu.

Ovo je poučan primer za Lagranžove množioce: zadatak je jednostavan bez njih (probaj!), a prilično nezgodan sa njima.

E, sad ono što si tražio:

Prvo zadatak treba prevesti na jezik problema minimizacije funkcije.

Pretpostavimo da je \( g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 \). Naći minimum funkcije \( f(x,y,z)=x+y+z+\frac1{xyz} \), gde su \( x \), \( y \) i \( z \) pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju uslov \( g(x,y,z)=0 \).

Rešenje. Sporna teorema glasi: Ukoliko funkcija \( f \) dostiže ekstremnu vrednost u unutrašnjosti oblasti u kojoj je definisana, onda se ta ekstremna vrednost dostiže u jednoj od kritičnih tačaka.

Kritična tačka je svaka uređena trojka \( (x,y,z)\in\mathbb R^3 \) za koju je ispunjen jedan od sledećih sedam uslova:

  • \( 1^{\circ} \) funkcija \( f(x,y,z) \) nije diferencijabilna

  • \( 2^{\circ} \) funkcija \( g(x,y,z) \) nije diferencijabilna

  • \( 3^{\circ} \) gradijent \( \nabla f(x,y,z) \) nije neprekidan

  • \( 4^{\circ} \) gradijent \( \nabla g(x,y,z) \) nije neprekidan

  • \( 5^{\circ} \) gradijent \( \nabla f(x,y,z) \) je nula-vektor, tj. \( \nabla f(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 6^{\circ} \) \( \nabla g(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 7^{\circ} \) Vektori \( \nabla f(x,y,z) \) i \( \nabla g(x,y,z) \) su različiti od \( \overrightarrow{0} \) i paralelni.

Bolna istina: Teorema ne kaže ništa o mogućim maksimumima i minimumima u tačkama koje nisu u unutrašnosti. To znači da ako je jedna od koordinata \( (x,y,z) \) bliska nuli, moramo nešto drugo da radimo. U ovom slučaju to je jednostavno: Možemo da kažemo sledeće: Ako je jedan od brojeva \( x \), \( y \), ili \( z \) manji od \( 1/100 \), tada je \( \frac1{xyz}\geq 100\cdot \frac1{xy}\geq 100 \). Pošto tražimo apsolutni minimum, i pošto je \( f(1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3)< 100 \), onda je apsolutni minimum ujedno i kritična tačka u unutrašnosti domena \[ \{(x,y,z): x> 1/100, y> 1/100, z > 1/100\}.\]

Čini mi se da je ovo ono što si tražio. Međutim, hajde da završim pisanje rešenja da i ostali znaju o čemu se radi:

Polazimo od toga da je \[ \nabla f(x,y,z)=\left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle \quad \mbox{i} \] \[ \nabla g(x,y,z)=\langle 2x,2y,2z\rangle=2\langle x,y,z\rangle.\] Slučajevi \( 1^{\circ} \)- \( 6^{\circ} \) se lako ispituju i vidi se da nema kritičnih tačaka ni u jednom od njih.

Vektori su paralelni ukoliko postoji skalar \( \lambda \neq 0 \) takav da je \( \nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z) \), tj. ukoliko postoji skalar \( \lambda\neq 0 \) takav da je \[ \left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle =2\lambda\cdot\langle x,y,z\rangle.\]

Nazovimo \( \mu=2\lambda \). Popularan način pisanja prethodne vektorske jednačine je:

\[ 1-\frac1{x^2yz}=\mu x,\] \[ 1-\frac1{xy^2z}=\mu y,\] \[ 1-\frac1{xyz^2}=\mu z.\]

Takođe, \( (x,y,z) \) moraju da zadovoljavaju uslove zadatka: \( g(x,y,z)=0 \), tj. \( x^2+y^2+z^2=1 \).

Pošto je \( x\neq 0 \), prvu jednačinu smemo da podelimo sa \( x \) i prevedemo je u ekvivalentnu: \( \frac1x-\frac1{x^3yz}=\mu. \) Na sličan način druga jednačina postaje \( \frac1y-\frac1{xy^3z}=\mu. \) Poslednje dve relacije daju

\[ \frac1x-\frac1y=\frac1{xyz}\cdot\left(\frac1{x^2}-\frac1{y^2}\right).\]

Sada razmatramo dva slučaja: Kada je \( x=y \) i kada je \( x\neq y \).

  • Posmatrajmo prvo slučaj \( x=y \). Sada problem postaje: Naći maksimum funkcije \( \varphi(x,z)=2x+z+\frac1{x^2z} \) pod uslovom \( 2x^2+z^2=1 \).

    Nazovimo \( \psi(x,z)=2x^2+z^2 \) i ponovo tražimo kritične tačke. Slučajevi \( 1^{\circ} \)-\( 6^{\circ} \) su jednostavni. Ostaje da nađemo one parove \( (x,z) \) za koje je \( \nabla \varphi(x,z)\|\nabla \psi(x,z) \), tj. za koje postoji \( \nu\neq 0 \) takav da je \[ \left\langle 2-\frac2{x^3z}, 1-\frac1{x^2z^2}\right\rangle=\nu\langle 4x,2z\rangle.\] Poslenja relacija daje: \( 1-\frac1{x^3z}=2\nu x \) i \( 1-\frac1{x^2z^2}=2\nu z \). Množenjem prve jednačine sa \( x \) a druge sa \( z \) dobijamo: \[ x-\frac1{x^2z}=2\nu x^2\quad\quad\quad\quad\quad (1)\] \[ z-\frac1{x^2z}=2\nu z^2. \quad\quad\quad\quad\quad (2)\] Oduzimanjem (1) i (2) dobijamo: \[ x-z=2\nu(x+z)(x-z).\] Ako je \( x=z \) dobijamo \( x=z=y=\frac1{\sqrt 3} \) i to je jedna kritična tačka. Ako je \( x\neq z \), tada dobijamo \( 2\nu(x+z)=1 \). Ako jednačinu (1) pomnožimo sa 2 i dodamo jednačini (2) dobijamo

    \[ 2x+z-\frac3{x^2z}=2\nu\cdot (2x^2+z^2)=2\nu=\frac1{x+z}.\]

    Sada obe strane pomnožimo sa \( x+z \) i dobijamo: \[ 2x^2+2xz+zx+z^2-\frac3{xz}-\frac3{x^2}=1\] \[ \Leftrightarrow xz=\frac1{xz}+\frac1{x^2}. \] Poslednja jednačina nema rešenja za \( x< 1 \) i \( y< 1 \) jer je \( xz< 1 \), a \( \frac1{xz}+\frac1{x^2}> 1+0=1 \).

  • Posmatrajmo sada slučaj \( x\neq y \). Tada je \( x^2y^2z=x+y \). Slučaj \( y=z \) se razmatra kao pre. Pretpostavimo zato da je \( y\neq z \). Na analogan način kao gore, dobijamo \( xy^2z^2=y+z \). Množenjem obe strane sa \( x \) donosi: \( x^2y^2z^2=yx+xz \), dok jednačina \( x^2y^2z=x+y \) je ekvivalentna sa \( x^2y^2z^2=xz+yz \). Oduzimanjem dobijamo: \( yx=yz \), odnosno zbog \( y\neq 0 \): \( x=z \), što se razmatra kao slučaj gore.

Prema tome, minimum funkcije se dostiže za \( x=y=z=\frac1{\sqrt 3} \), i iznosi \( f\left(\frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}\right)=3\sqrt 3+3\sqrt 3=6\sqrt 3 \).



Postavljeno: 06/19/2012 u 01:06:10     Autor maticivan

Hvala na odgovoru i slažem se sa tim da bi bilo lepo da postoji neki materijal o primeni diferencijalnog računa na ovom sajtu.
\[\]
Zadatak koji sam dao činio mi se kao dobar primer za primenu Lagranžovih množioca, ali naravno da može da se reši i jednostavnom primenom nejednakosti između sredina (ipak je zadatak bio na juniorskom takmičenju).
\[\]
Čini mi se da je mogao malo brže da se dovrši prethodni zadatak posle dela sa \( \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{xyz}\left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right) \) \( \Longleftrightarrow (x-y)\left(\frac{x+y-x^2y^2z}{x^2y^2z}\right) \) ako primetimo da je \( x+y-x^2y^2z> 0 \) pod pretpostavkom da je \( x\geq y\geq z \).

Postavljeno: 06/19/2012 u 05:06:29     Autor Maksim

Na koliko načina se brojevi -9, -8, ...-1, 1, 2 ... 9 mogu rasporediti na temena konveksnog 18-ugla tako da zbir u susednim temenima ne bude jednak nuli ? .

Verujem da treba krenuti od svih rasporeda, pa odbiti one sa nulama ali kako doći do njihovog broja ?

Postavljeno: 08/18/2012 u 15:08:24     Autor nepogoda

Ovaj zadatak se jednostavno svodi na ménage problem.

Pretpostavimo da su \( 1 \), \( 2 \), \( \dots \), \( 9 \) muškarci, a \( -1 \), \( -2 \), \( \dots \), \( -9 \) njihove žene. Zadatak je sada ekvivalentan sledećem:

Na koliko načina se devet bračnih parova mogu rasporediti oko okruglog stola tako da niko ne sedi pored svog bračnog druga?

Zadatak se rešava metodom uključivanja i isključivanja, i krajnji rezultat je ogroman zbir koji nije moguće srediti i svesti na lepu formulu. O ovome može više da se pročita u radu Non-sexist solution of the ménage problem koga su napisali Kenneth P. Bogart i Peter G. Doyle.



Postavljeno: 11/16/2012 u 16:11:55     Autor maticivan

Poštovani ,

imam jedno matematičko pitanje. Naime zanima me da li je moguće odrediti ostatak pri deljenju 3^1000 sa 125. (Uz pomoć kongruencija, ako je moguće).

Hvala unapred na odgovoru.

Milan Č.

Postavljeno: 02/28/2014 u 13:02:35     Autor Milan C

Po Ojlerovoj teoremi je \( 3^{\varphi(125)}=3^{100}\equiv1\pmod{125} \). Dakle, \( 3^{1000}=(3^{100})^{10}\equiv1^{10}=1 \pmod{125} \). Može?

Ojlerova teorema: ako je \( n \) prirodan broj i \( a \) ceo broj uzajamno prost sa \( n \), onda je \( a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n \).
Pritom se \( \varphi(n) \) definiše kao \( \varphi(n)=n(1-\frac 1{p_1})(1-\frac 1{p_2})\cdots(1-\frac 1{p_k}) \), gde je \( n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} \) kanonska faktorizacija broja \( n \) na proste činioce.

Izvini zbog automatskog ćiriličenja.

Postavljeno: 03/03/2014 u 21:03:48     Autor dusandjukic

OK.

Mnogo ste mi pomogli.
Ojlera se nisam setio.

Pozdrav!

Postavljeno: 03/04/2014 u 13:03:18     Autor Milan C

Имам још једно питање за Вас....Овога пута мало тежи задатак.Наиме ,
Нека су ,АА1 , ББ1 ,  и ЦЦ1 висине троугла АБЦ, а ,А1А2 , Б1Б2  и Ц1Ц2 пречници кружнице 9
тачака за троугао АБЦ. Докажите да праве , АА2 , ББ2 и ЦЦ2 пролазе кроз једну
заједничку тачку.

Postavljeno: 03/07/2014 u 16:03:06     Autor Milan C

Uh, čekaj... koliko znaš geometrije? Znaš li šta su izogonalno spregnute tačke? Ovo je zadatak relativno visokog nivoa i ne vidim kako može da se reši na nivou B kategorije.

Teorema o izogonalno spregnutim tačkama: Neka je \( P \) proizvoljna tačka u ravni trougla \( ABC \), a \( s_a,s_b,s_c \) redom simetrale njegovih uglova kod temena \( A,B,C \) (unutrašnje ili spoljašnje, svejedno je). Tada se prave simetrične pravim \( AP,BP,CP \) redom u odnosu na \( s_a,s_b,s_c \) seku u jednoj tački, recimo \( P^{\prime} \), ili su sve tri paralelne. Kažemo da je tačka \( P^{\prime} \) izogonalno spregnuta tački \( P \) u trouglu \( ABC \).

Rešenje zadatka: Neka je \( H \) ortocentar trougla \( ABC \). Središte \( M \) duži \( AH \) takođe leži na krugu devet tačaka. Poznato je da je prava \( BC \) simetrala spoljašnjeg ugla \( B_1A_1C_1 \). Kako je prava \( MA_2 \) simetrična pravoj \( BC \) u odnosu na centar kruga devet tačaka, sledi da je i \( MA_2 \) simetrala spoljašnjeg ugla \( B_2A_2C_2 \). Kako je \( \angle AMA_2=\angle A_1MA_2=90^\circ \), trouglovi \( AMA_2 \) i \( HMA_2 \) su podudarni, tj. \( AA_2 \) i \( HA_2 \) su simetrične u odnosu na simetralu ugla \( B_2A_2C_2 \). Prema tome, tačka \( J \) izogonalno spregnuta tački \( H \) u trouglu \( A_2B_2C_2 \) leži na pravoj \( AA_2 \). Analogno i prave \( BB_2 \) i \( CC_2 \) prolaze kroz \( J \). \( \Box \)

Postavljeno: 03/08/2014 u 22:03:54     Autor dusandjukic

Имам још једно ,,велико питање,,.Наиме занима ме докаѕ следеће тврдње : АКО ЈЕ У БРОЈЕВНОМ СИСТЕМУ СА ОСНОВОМ Б ЗБИР ЦИФАРА БРОЈА А ДЕЉИВ СА М , И АКО ЈЕ БРОЈ Б-1 ДЕЉИВ СА М , ТАДА М ДЕЛИ А.

Како доказати малопрепоменуту тврдњу ?
Како уопште разумети представљање броја у бројевном систему са основом 2014?

Хвала унапред на одговору.

Postavljeno: 03/10/2014 u 06:03:34     Autor Milan C

Pa da vidimo šta je predstavljanje broja \( a \) u sistemu sa osnovom \( b \). Neka je \( a=a_1\cdot b+d_0 \) deljenje broja \( a \) brojem \( b \) sa ostatkom (\( d_0\in\{0,1,\dots,b-1\} \)). Nastavljamo postupak: \( a_1=a_2\cdot b+d_1 \), \( a_2=a_3\cdot b+d_2 \), itd. (\( d_1,d_2,\dots\in\{0,1,\dots,b-1\} \)), sve dok ne dobijemo \( a_{n+1}=0 \). Tada je \( a=a_1b+d_0=a_2b^2+ d_1b+d_0=\cdots=d_nb^n+d_{n-1}b^{n-1}+\cdots+d_1b+d_0=(\overline{d_nd_{n-1}\dots d_1d_0})_b \).

Kako zapisuješ npr. broj \( 57206 \) u sistemu sa osnovom 10? Cifre su brojevi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
\( 57206=5720\cdot10+\mathbf{6} \), \( 5720=572\cdot10+\mathbf{0} \), \( 572=57\cdot10+\mathbf{2} \), \( 57=5\cdot10+\mathbf{7} \), \( 5=0\cdot10+\mathbf{5} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{57206})_{10}} \).
A kako zapisuješ 57206 u sistemu sa osnovom 9? Sada imaš samo 9 cifara, i to su 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
\( 57206=6356\cdot9+\mathbf{2} \), \( 6356=706\cdot9+\mathbf{2} \), \( 706=78\cdot9+\mathbf{4} \), \( 78=8\cdot9+\mathbf{6} \), \( 8=0\cdot9+\mathbf{8} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{86422})_9} \).
A u osnovi 2014? Imamo 2014 mogućih cifara; pošto nemamo toliko slova, pisaćemo ih kao (0),(1),(2),...,(2013).
\( 57206=28\cdot2014+\mathbf{814} \), \( 28=0\cdot2014+\mathbf{28} \), i tako \( 57206=\mathbf{(\overline{(28)(814)})_{2014}} \).

A sada da dokažemo tvoj kriterijum deljivosti.
Dato ti je \( a=(\overline{d_n\dots d_1d_0})_b \), \( m\mid b-1 \) i \( m\mid d_n+\cdots+ d_1+d_0 \). Kako je \( b\equiv1\pmod m \), sledi \( b^k\equiv1\pmod m \) za sve \( k \), pa je tako \( a=d_nb^n+\cdots+d_1b+d_0\equiv d_n+\cdots+d_1+d_0 \equiv0\pmod m \), tj. \( m\mid a \). \( \Box \)

Preporučujem Uvod u teoriju brojeva u izdanju Društva matematičara Srbije (sveska 15).

Postavljeno: 03/10/2014 u 16:03:26     Autor dusandjukic

Поштовани , још два метематичка питања од мене.

1.Ако је Р(н) број релација еквиваленције које се могу дефинисати на скупу од н елемената , доказати да је
Р(н+1)=∑_(н,к=0)* (н над к) * Р(к) , Р(0)=1.

2.Доказаати ,,полиномну,, формулу :

(x1+x2+...+xм)^н=∑_(к1+к2+...+км=н , Ки веће или једнако од 0 , и=1,2,...,м)н!*(x1^к1*x2^к2*...*xм^км)/к1!*к2!*...*км! . (Преферирао би доказ математичком индукцијом).



Хвала унапред на одговору.

Милан М. Чугуровић

Postavljeno: 04/10/2014 u 07:04:29     Autor Milan C

1. Broj klasa ekvivalencije.
\( P(n) \) je tzv. Belov broj. Imaš dokaz u Kombinatorici u izdanju DMS, a ide ovako: Neka je skup u razmatranju \( A \), \( |A|=n+1 \), a \( x \) njegov element. Taj element \( x \) pripada nekoj klasi ekvivalencije \( X \). Ako je \( |X|=k+1 \), onda \( X \) može da se odabere na \( \binom nk \) načina (tako da sadrži \( x \)), a relaciju ekvivalencije na ostatku skupa, tj. na skupu \( A\setminus X \) koji ima \( n-k \) elemenata, možemo postaviti na \( P(n-k) \) načina. Tako za dato \( k \) imamo \( \binom nk P(n-k) \) relacija ekvivalencije, pri čemu \( k \) ide od \( 0 \) do \( n \). Tako je \( P(n) \) ukupno jednako \( \sum_{k=0}^n \binom nk P(n-k) \).

2. Polinomna formula.
Formula važi za \( m=2 \). Pretpostavimo da važi za \( m-1 \) i dokažimo je za \( m \). Po induktivnoj pretpostavci je \[ (x_1+\cdots+x_m)^n=(x_1+\cdots+x_{m-2}+(x_{m-1}+x_m))^n=\sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}(x_{m-1}+x_m)^{k_{m-1}^{\prime}}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}\sum_{k_{m-1}+k_m=k_{m-1}^{\prime}}\frac{k_{m-1}^{\prime}!}{k_{m-1}!k_m!}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}!k_m!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}.\]


Postavljeno: 04/11/2014 u 20:04:56     Autor dusandjukic

Поштовани, имам једно математичко питање за Вас: ако је b поредак броја a по модулу p( p је непаран прост број) и p^n||a^b - 1 ,доказати да је (p^m) * b поредак броја a по модулу p^(n +m).Сви поменути бројеви су природни,док m може бити и нула. Хвала унапред.

Postavljeno: 04/15/2014 u 22:04:35     Autor Warlus

Постовани , имам нерешен задатак :

На једној тежишној линији троугла АБЦ одабрати тачку М тако да збир

ѕ = МА^2+MB^2+MЦ^2 има минималну вредност.
РЕШЕЊУ ДАТИ ГЕОМЕТРИЈСКУ ИНТЕРПРЕТАЦИЈУ.

Интересантна је прича око овог задатка . Ниме задатак се појавио 1956. године на пријемном испиту за етф и од 390 такмичара ни један га није решио у потпуности.

Хвала унапред на одоговору.

Милан М. Чугуровић

Postavljeno: 04/17/2014 u 15:04:47     Autor Milan C

Spolja pripisana kružnica trougla....ništa ne mogu da nađem o njoj samo da
dodiruje stranicu trougla u dodirnoj tački a da su ostale 2 stranice tog
trougla tangente na tu kružnicu.Kako računamo njen poluprečnik?Kakva je veza stranica trougla i popuprečnika?Kako je konstruišemo?I postoje li još kakve osobine te
kružnice?

Postavljeno: 11/10/2014 u 14:11:18     Autor Dalibor D

To je prilično osnovni pojam u geometriji trougla, pa o njemu ima mnogo da se priča. Centar pripisanog kruga u trouglu \( ABC \) naspram temena \( A \) je u tački preseka unutrašnje simetrale ugla \( BAC \) i spoljašnjih simetrala uglova \( ABC \) i \( ACB \). Poluprečnik mu je \( \frac{2P}{b+c-a} \).

Snalaziš se sa engleskim? http://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_and_excircles_of_a_triangle
Ovde nema mnogo, ali bar je na srpskom: http://www.elemenat.com/archive/nauka/math/trougao.htm

Postavljeno: 11/10/2014 u 16:11:16     Autor dusandjukic

Хтео бих да вас питам како се решава следећи задатак (1. разред А категорија,општинско 2002.):
Доказати да \( 3n^2+3n+7 \) не може бити куб ниједног природног броја.

Postavljeno: 12/09/2015 u 09:12:39     Autor Grigorij Perelman

По модулу 9. Куб celog броја дајe остатке \( 0,1,8 \), а број \( 3n^2+3n+7 \) daje ostatak \( 4 \) ili \( 7 \).

Postavljeno: 12/09/2015 u 14:12:01     Autor dusandjukic

Да ли постоји 10 природних бројева таквих да ниједан од њих није дељив ниједним од преосталих 9 бројева, а да су квадрати тих бројева дељиви са свих преосталих 9 бројева?

Postavljeno: 01/20/2017 u 11:01:56     Autor nujabes

Ti znaš odgovor? Da ne jurim.

Pa dobro, npr. \( 2^{10}\cdot3^{19},2^{11}\cdot3^{18},\dots,2^{19}\cdot3^{10} \).

Postavljeno: 01/20/2017 u 16:01:00     Autor dusandjukic


cosak
cosak cosak