Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

48. Međunarodna Matematička Olimpijada 2007.

48. Međunarodna matematička olimpijada je održana od 19. do 31. jula 2007. u Hanoju u Vijetnamu. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematičke olimpijade za srednje škole, održane 2. i 3. aprila u Beogradu:

  • Mladen Radojević, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Marko Jevremović, 4. razred Gimnazije u Kraljevu;
  • Marija Jelić, 3. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Boban Karapetrović, 2. razred Gimnazije u Ivanjici;
  • Dušan Milijančević, 1. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Teodor fon Burg, 7. razred osnovne škole u Matematičkoj gimnaziji u Beogradu.
Ekipom su rukovodili Đorđe Krtinić sa Matematičkog fakulteta u Beogradu i Dušan Đukić sa Univerziteta u Torontu, a u sastavu ekipe je bila i Magda Buzurović fon Burg kao posmatrač.

Vijetnam

Putovanje do našeg odredišta trajalo je oko 24 sata, zajedno sa presedanjima u Moskvi i Bangkoku. Takmičari i zamenici vođa su bili smešteni u Hanoju, u međusobno udaljenim hotelima. Vođe su odmah po dolasku, četiri dana pre ostatka ekipa, sprovedene u Ha Long gde se odvijao izbor zadataka, a tokom koordinacije su im pridružili i zamenici.

Prestonica Vijetnama, Hanoj (što u prevodu znači otprilike "na reci"), je grad sa oko 4 miliona stanovnika na Crvenoj Reci (na vijetnamskom Hong Ha), malo ispod severnog povratnika. Vijetnamci tvrde da je kratkotrajna zima u gradu veoma prijatna, kao proleće kod nas, ali je leto tipično tropsko, dugo više od šest meseci, sa stalnom temperaturom od 30 do 35 stepeni preko dana, veoma toplim noćima i velikom vlagom u vazduhu. Sam Hanoj je prostran grad uglavnom niskih zgrada (do četiri sprata) građenih u karakterističnom stilu, obično veoma uskih i međusobno spojenih. Prvo što posetiocu sa zapada upada u oči je haotičan saobraćaj sa malo automobila i veoma mnogo motocikala koji voze u svim pravcima i naizgled mimo svih pravila. Motocikli su ovde porodično prevozno sredstvo. Domaćini su nam objasnili da je grad uprkos vidljivom siromaštvu veoma bezbedan što se tiče uličnog razbojništva, ali da nam se upravo zbog saobraćaja ne preporučuje da sami mnogo lutamo naokolo. Takođe su nam privukli pažnju mnogobrojni strujni kablovi na ulici: često je između dva susedna stuba razapeto na desetine, možda i stotine žica i kablova. Kako su nam Vijetnamci objasnili, od tih kablova zapravo samo jedan radi, a oni koji ne rade se ne uklanjaju. Čini se da narod provodi veliki deo dana na otvorenom, pa ljudi koji na ulici kuvaju, jedu, šišaju se itd. nisu nikakva retkost.

U Hanoju su organizovane ekskurzije u etnološki muzej (u stvari park etničkih kuća), selo proizvođača svile Van Fuk i Hram literature, prvi univerzitet u Vijetnamu. Vijetnamci su do pre jednog veka pisali pismom sličnim kineskom, dok danas, zahvaljujući francuskim misionarima, pišu nekom vrstom izrazito akcentovane latinice. Ha Long je turističko mesto udaljeno oko tri sata vožnje od Hanoja, na obali Južnog kineskog mora, u istoimenom zalivu izuzetne prirodne lepote. Zaliv je načičkan bezbrojnim malim ostrvima neobičnog oblika, nalik na gromade. Domaćini nisu propustili da nas povedu na krstarenje zalivom, pri čemu smo posetili i pećinu na jednom od ostrva u kojoj je, kako se ispostavilo, klima mnogo gora nego na otvorenom jer je na istoj temperaturi vlažnost vazduha bila stoprocentna.

 


Kao što je i običaj, za takmičare su održane razne društvene aktivnosti i sportska takmičenja. Naša ekipa je pobedila u odbojci, a jedan naš takmičar je zamalo pobedio i u modnoj reviji.

Zadaci i koordinacija

Žiri je izabrao šest zadataka koje ovde prikazujemo sa rešenjima. Kao što je uobičajeno, predviđeno je da prvi i četvrti zadatak budu laki, drugi i peti srednje težine, i treći i šesti teški. Koordinacija se odvijala u dva dana nakon olimpijade, pri čemu smo mi imali nezgodan raspored jer smo radove drugog dana dobili tek kasno uveče tog dana, a koordinaciju četvrtog i petog zadatka smo imali zakazanu narednog dana na sabajle, tako da smo ih pregledali te večeri do zore. Po završetku programa prvog dana koordinacije ostalo nam je veče i noć da iščitamo radove na prvom i šestom zadatku i dešifrujemo Markovo navodno rešenje šestog zadatka tajanstvenom teoremom po imenu kombinatorni nulštelenzac. Opšti je utisak da su Vijetnamci veoma kvalitetno odradili koordinaciju, iako je kao i uvek bilo i propusta i nezadovoljnih.

  • Prvi zadatak je pomalo nestandardna algebra glomazne formulacije. Deo pod (a) je bio jednostavan i svi naši su ga rešili, ali nam se deo pod (b) pokazao neočekivano neuhvatljivim i tu je jedino Dušan imao elemente rešenja (i elemente greške koju je napravio i u prvom delu). Uprkos našim bojaznima, koordinacija prvog zadatka je bila prilično opuštena i svi su lako dobili zaslužene poene sa izuzetkom Marije koja je ispisala rešenje dela pod (a) na četiri strane i pokušaj dela pod (b) na još četiri. Čak smo uspešno isfolirali koordinatore u Dušanovom radu i tako mu obezbedili 6 poena umesto planiranih 4-5, što mu je na kraju možda odlučilo o medalji. Sve u svemu, čini se da na ovom zadatku imamo lošiji rezultat od očekivanog, i sledeće godine svakako treba posvetiti jedno ili dva predavanja konstrukcijama primera za odgovarajuća tvrđenja u algebri i optimizaciji.

  • Drugi zadatak, geometrija u nivou domaćih takmičenja, je dopuštao i elementarno i računsko rešenje, nijedno preterano teško, ali ni lako. Tri naša takmičara su ga rešila, svi kompleksnim brojevima posle mnogo vremena provedenog na njemu. Ocenjivanje je donelo teškoće jer koordinatori nisu proveravali Mladenovo i Markovo rešenje već su ih otpisali, te smo morali da im objašnjavamo red po red i formulu po formulu. Mladenu smo morali da prihvatimo šesticu jer, mada je prošao sa najelegantnijim računom, taj račun nije propratio objašnjenjima, zaključkom, niti ijednom rečju. Tri nerešenja su ocenjena sitnišem po ključu, dok je Teodor neočekivano dobio 7 bez ikakvih problema uprkos nekim neprijatnim greškama u računu. Tako je naš rezultat na ovom zadatku solidan, mada je utisak da je mogao biti i bolji da učenici nisu bili malo obeshrabreni prvim zadatkom. Sledeće godine moramo da obratimo pažnju i na geometrijske zadatke koji se ne mogu rešiti čistim računom.

  • Treći je kombinatorni zadatak u kome je tehnika od slabe pomoći. Mladen ga je maestralno sredio, a Teodor je imao ispravnu ideju da prebacuje učenike između soba dok se veličine družina ne približe na razliku od 1 i potom obradio lake slučajeve, ali se njegovo rešenje nije moglo dovršiti. Na koordinaciji, prvog dana posle ručka, Teodor je po ključu dobio 2 poena, a četiri nule su podeljene po kratkom postupku - naši su potrošili vreme na krajnje specijalnim slučajevima što retko kad donosi poen, umesto da su se pozabavili opštom situacijom u granicama mogućnosti. Međutim, koordinacija Mladenovog rada je trajala znatno duže od očekivanja jer su Vijetnamci postavljali potpitanja na svaku rečenicu dok se nas dvojica nismo konačno zbunili i obećali da ćemo se vratiti kasnije. Vratili smo se kroz pet minuta i objasnili rešenje do kraja, na šta su koordinatori rekli da sad oni hoće da malo razmisle i da se vratimo kasnije popodne (u prvobitno propisanom terminu). Kad smo se kasnije vratili, dočekao nas je i Rus iz problemske komisije koji je tražio da pismeno prevedemo poslednja dva pasusa Mladenovog rada od reči do reči, posle čega nam je odobrena sedmica. Ove muke su kasnije dobile objašnjenje. Ispostavilo se da su se učesnici olimpijade na ovom zadatku krajnje loše proveli, a jedina druga sedmica na celoj olimpijadi se pojavila tek pred sam kraj koordinacije kod jednog Kineza. Tako je Srbija ove godine upamćena na olimpijadi, a i koordinatori su nas očigledno zapamtili jer su nam se javljali gde god bi nas sreli. Sve u svemu, jesmo se namučili, ali smo zaista uživali.

  • Četvrti zadatak je dat kao zicer, što je i bio. Razloge za gubitak 8 poena u našoj ekipi treba tražiti samo u psihologiji - Boban je pogrešno razumeo zadatak, što je šteta jer bi ga inače sigurno rešio, a Teodor je zbog ružnog ispisa ostavio poen koordinatorima.

  • Peti zadatak nije bio lak - metod najmanjeg rešenja u teoriji brojeva, kada se prvi put pojavio na olimpijadi 1988, napravio je pokolj - ali danas spada u tehniku. Marija i Mladen su ispravno povezali zadatak sa ovim metodom i zaradili po sedam poena. Marko je takođe tvrdio da ga je uradio ali je zapravo samo vršio sitne algebarske kalkulacije prilikom čega je pogrešio (uostalom, nerealno je očekivati da se peti zadatak na olimpijadi može uraditi presipanjem iz šupljeg u prazno). Četiri nerešenja su ocenjena po jednim poenom koliko je po ključu vredela relacija \( 4ab-1\mid(a-b)^2 \). Dva rešenja u ekipi su zadovoljavajući rezultat, mada se možda moglo očekivati i više od toga jer našim učenicima ideja nije bila nepoznata.

  • Šesti zadatak je varijacija specijalnog slučaja gore pomenutog kombinatornog nulštelenzaca, što ga čini lošim izborom za olimpijadu jer su ga rešili samo oni kojima je ta teorema bila poznata. Marko je čuo za nju, ali je formulaciju znao samo otprilike, tako da se pogrešno opredelio za pokušaj prevare i nas i koordinatora, izostavivši formulaciju (a s obzirom na to da je teorema malo poznata, mora da se navede tačna formulacija i skica dokaza ili bar referenca), što ga je koštalo drugog poena. Svi ostali iz naše ekipe su brzo dobili nule, iako su Teodor i Mladen bili blizu jednog poena po inače nejasnom ključu. Osim toga, Vijetnamci nisu propustili da zapaze ni Marijin crtež na dnu papira: kako su prokomentarisali, "ovde nema ništa, ali ova sličica je jako lepa... možda jedan poen?"

Rezultati

Na olimpijadi su učestvovala 522 takmičara iz 93 zemlje, što ovogodišnju olimpijadu čini najmasovnijom do sad. Ove godine su prvi put učestvovali učenici iz Crne Gore, Lihtenštajna i Kambodže. Zbog dva veoma teška zadatka nijedan učenik nije imao maksimalna 42 poena. Najviše poena, 37, imao je jedan Rus. Podeljeno je 39 zlatnih (29 i više poena), 83 srebrne (21-28 poena) i 131 bronzana medalja (14-20 poena). Rezultati naših takmičara su dati sledećom tabelom:

SRB 1  Mladen Radojević   3 6 7 7 7 0   30    zlatna medalja  
SRB 2  Marko Jevremović   3 7 0 7 1 1   19    bronzana medalja  
SRB 3  Marija Jelić   4 0 0 7 7 0   18    bronzana medalja  
SRB 4  Dušan Milijančević   6 1 0 7 1 0   15    bronzana medalja  
SRB 5  Boban Karapetrović   3 2 0 0 1 0    6  
SRB 6  Teodor von Burg   3 7 2 6 1 0   19    bronzana medalja  
  Srbija ukupno  2223 9 3418 1   107  

Mladen je sjajnim nastupom zaradio zlatnu medalju, prvu za našu zemlju posle osam godina. Medalja je utoliko sjajnija zbog činjenice da smo u proteklih deset godina izgubili čak šest zlata za samo po jedan poen. Naravno, njegov treći zadatak je poseban razlog da budemo ponosni. Marko, Marija, Dušan i Teodor su se okitili bronzanim medaljama. Od Marka smo kao najiskusnijeg, iako bronza svakako jeste uspeh, očekivali malo više; kako se čini, ove godine mu je nedostajalo rada i motivacije. Marija je dosta napredovala, što se videlo drugog dana, ali se prvog dana loše snašla, ne rešivši geometriju koja joj inače leži, zbog čega joj je izmaklo srebro. Dušan je zahvaljujući znanju teorije uradio taman dovoljno za bronzu, ali je uz malo više prakse mogao bolje. Boban je imao kvalitet za bronzu, nije se snašao ali još dve prilike su pred njim. Najmlađi član naše ekipe, Teodor, bez predrasuda je zagrizao zadatke i zaradio jaku bronzu, a kako za slab ispis srećom nije bio ozbiljnije kažnjen, čak je bio blizu srebra.


S leva nadesno: Đorđe Krtinić, Dušan Đukić, Teodor von Burg, Marija Jelić, Boban Karapetrović, Marko Jevremović, Dušan Milijančević, Mladen Radojević

Iako se ekipni plasman ne računa zvanično, ekipne rang-liste se danas prilično ozbiljno shvataju kao jedan od pokazatelja rada i trendova po zemljama. Iako su u novije vreme najčešće Kinezi na vrhu liste, ove godine su ih pretekli Rusi:

ZemljaPoeniZ S B
1. Rusija 184 5 1 -
2. Kina 181 4 2 -
3. Južna Koreja 168 2 4 -
Vijetnam 168 3 3 -
5. SAD 155 2 3 1
6. Japan 154 2 4 -
Ukrajina 154 3 1 2
8. Severna Koreja 151 1 4 -
9. Bugarska 149 2 3 1
Tajvan 149 2 3 1
11. Rumunija 146 1 4 1
12. Iran 143 1 3 2
Hong Kong 143 - 5 1
14. Tajland 133 1 3 2
15. Nemačka 132 1 3 1
16. Mađarska 129 - 5 -
17. Turska 124 1 2 2
18. Poljska 122 1 2 2
19. Belorusija 119 1 1 4
20. Moldavija 118 - 3 2
21. Italija 116 1 1 3
22. Australija 110 - 1 4
23. Srbija 107 1 - 4
24. Brazil 106 - 2 3
25. Indija 103 - 3 -
26. Gruzija 102 1 1 1
27. Kanada 98 - 1 3
28. Velika Britanija 95 1 - 3
Kazahstan 95 - 1 3
30. Kolumbija 93 - 1 3
31. Litvanija 92 1 - 2
ZemljaPoeniZ S B
32. Peru 91 - 1 2
33. Grčka 89 - 1 3
34. Mongolija 88 - 2 1
Uzbekistan 88 - 1 3
36. Singapur 87 - - 5
37. Meksiko 86 - - 4
Slovačka 86 - - 4
39. Slovenija 85 - - 5
40. Češka 82 - - 5
41. Švedska 81 - - 4
42. Austrija 80 - 1 3
43. Norveška 79 - 1 1
Francuska 79 1 - 2
45. Belgija 78 - - 3
46. Hrvatska 76 - - 2
47. Argentina 75 - 1 1
48. Jermenija 73 - 1 1
Makao 73 - 1 1
50. Izrael 71 - - 3
Novi Zeland 71 - - 3
52. Azerbejdžan 69 - - 3
Bosna i Hercegovina 69 - 1 -
Indonezija 69 - 1 -
55. Makedonija 68 - - 3
56. Holandija 65 - - 1
57. Estonija 64 - - 1
58. Albanija 59 - - 1
Švajcarska 59 - - 1
60. Letonija 58 - - -
61. Finska 55 - 1 -
62. Portugal 52 - - 1
ZemljaPoeniZ S B
63. Irska 51 - - 1
Turkmenistan 51 - - -
65. Danska 50 - - 1
66. Španija 48 - - 2
67. Kirgistan 43 - - 1
68. Južna Afrika 42 - - -
69. Kipar 41 - - -
70. Trinidad i Tobago 39 - - -
71. Tadžikistan 37 - - 1
72. Kostarika 36 - - 1
73. Island 35 - - -
74. Ekvador 34 - - 1
Luksemburg 34 - - 1
Malezija 34 - - 1
Salvador 34 - - -
78. Pakistan 32 - - 1
Paragvaj 32 - - -
80. Bangladeš 31 - - -
81. Maroko 28 - - -
82. Kambodža 26 - - -
83. Šri Lanka 25 - - -
84. Filipini 21 - - -
85. Nigerija 20 - - -
86. Crna Gora 17 - - -
87. Kuba 16 - - 1
88. Venecuela 14 - - -
Lihtenštajn 14 - - 1
90. Portoriko 7 - - -
91. Saudijska Arabija 5 - - -
92. Čile 4 - - -
93. Bolivija 2 - - -

Našom pozicijom možemo da budemo zadovoljni s obzirom na značajan napredak u odnosu na rezultate iz prethodne dve godine koji su, nadamo se, ipak bili samo prolazna slabost. Posebno raduje što je ekipa veoma mlada - po prvi put je učenicima pre drugog razreda srednje škole data prilika da se kandiduju za ekipu, i jasno je da su izmene u sistemu takmičenja koje su to omogućile bile veoma dobar potez. Četiri člana ekipe ostaju u konkurenciji i sledeće godine, tako da imamo osnova da se nadamo i boljem plasmanu ubuduće.

Uporedo sa koordinacijom naših obavljali smo i koordinaciju crnogorske ekipe, "opunomoćeni" od strane crnogorskog vođe (i istovremeno zamenika vođe) Božidara Šćepanovića koji je sve vreme prisustvovao našem poslu. Rezultati naših dojučerašnjih zemljaka su ove godine ipak bili skromni:

MON 1  Marica Knežević   1 0 0 5 1 0   7  
MON 2  Aleksandar Jaćimović   0 1 0 0 0 0   1  
MON 3  Nikola Milinković   1 0 0 7 1 0   9    pohvala  
  Crna Gora ukupno   2  1  0 12 2  0   17  

Inače, voditelj završnog sastanka žirija je u jednom momentu odlučio da nas malo nasmeje pa je pokazao u krupnom planu radove dvaju takmičara na šestom zadatku. Na prvom radu, neki učenik sa engleskog govornog područja je napisao ovo: "Ovaj zadatak je trivijalan! Može da se reši indukcijom i ne želim da traćim vreme na njemu." Ali drugi rad nam se odmah učinio poznatim. Zaista, kad se na opšte zadovoljstvo i smeh prisutnih pojavilo dno strane, prepoznali smo Marijinu finu sličicu. Vijetnamci se zaista razumeju i u umetnost.

Dušan Đukić, Đorđe Krtinić

cosak
cosak cosak