Log In     Register    

српски serbian srpski     english ufl

cosak

49. Medjunarodna Matematichka Olimpijada 2008.

49. Medjunarodna matematichka olimpijada je odrzhana od 10. do 22. jula 2008. u Madridu u Shpaniji. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematichke olimpijade za srednje shkole, odrzhane 12. i 13. aprila u Beogradu:

  • Dushan Milijanchevic1, 2. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Luka Milic1evic1, 2. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Aleksandar Vasiljkovic1, 2. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Teodor fon Burg, 8. razred osnovne shkole u Matematichkoj gimnaziji
  • Vladimir Nikolic1, 4. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Marija Jelic1, 4. razred Matematichke gimnazije u Beogradu.
Ekipom su rukovodili Djordje Krtinic1 sa Matematichkog fakulteta u Beogradu i Dushan Djukic1 sa Univerziteta u Torontu. Osim uobichajenih priprema, odrzhane su i pripreme ekipe od 15. do 19. juna u Matematichkoj gimnaziji u Beogradu, kao i od 4. do 10. jula u Hemijsko-medicinskoj shkoli u Vrshcu u koorganizaciji DMS.

Shpanija

Poshto od Beograda do Madrida ne postoji direktna avionska linija, presedali smo u Parizu. Sa izuzetkom kashnjenja aviona za Pariz u kojem su bili uchenici i zamenik vodje, shto je prouzrokovalo malo trke i rasprave sa sluzhbenicima u Parizu i skretanje s puta torbe jednog uchenika koja nam je stigla dan kasnije, put je proshao bez problema. Vodja ekipe je doputovao 10-tog, chetiri dana pre ostatka ekipe i odmah bio sproveden u Segoviju gde je zasedao zhiri olimpijade, dok je ostatak ekipe bio smeshten u Madridu, i to takmichari u univerzitetskom kampusu, a zamenici vodja u hotelu. Sa uchenicima je bio c1udljivi vodich Huan koji, iz samo njemu znanih razloga, nije izdrzhao do kraja olimpijade.

Madrid, prestonica Shpanije, sa oko 5 miliona stanovnika, takodje je i ekonomski i kulturni centar zemlje i sedishte kralja. Sagradjen je na suvoj visoravni oskudnog rastinja u srednjem delu Shpanije, naizgled u sred nichega. Leti temperature gotovo svaki dan prelaze 30 stepeni, a kisha je retka. Inache, grad su u 9. veku osnovali Mavari, koji su u to vreme vladali gotovo celim Iberijskim poluostrvom i kojima grad duguje i ime.

Organizovane su ekskurzije u Alkalu de Enares, Toledo i poznati dvorac Eskorijal. Alkala de Enares je gradic1 u blizini Madrida u kome se nalazi jedan od najstarijih univerziteta u Shpaniji, osnovan 1499. godine. Zabavila nas je pricha kako su se ovde nekada polagali doktorski ispiti. Trajali su danima, a kandidat je imao na raspolaganju dva "pomoc1nika" od kojih je drugi imao za cilj da ga dekoncentrishe. Srec1nik koji bi polozhio priredjivao bi zabavu za ceo grad; medjutim, i ako bi pao, bila bi organizovana zabava za grad, na kojoj bi bio javno ponizhavan i izvrgnut ruglu. Toledo je gradic1 malo juzhno od Madrida, nekadashnja prestonica shpanskog carstva i mesto ukrshtanja triju religija i kultura - katolichke, islamske i jevrejske. Muslimani i jevreji su proterani iz grada krajem 15. veka. Stari centar grada se nalazi unutar tvrdjave na kamenitom brdu okruzhenom rekom Taho, i u njemu su vidljivi ostaci mavarske arhitekture, ukljuchujuc1i chak i ukrase u glavnoj gradskoj katedrali.



Gore: bulevar u Madridu; dole: pogled na Toledo

Zadaci i koordinacija

Od 26 zadataka uzheg izbora zhiri je odabrao shest - po obichaju, prvi i chetvrti su predvidjeni kao laki, drugi i peti srednje tezhine, trec1i i shesti tezhi. Sudec1i po ukupnim rezultatima, ovogodishnje takmichenje je bilo neshto lakshe od proshlogodishnjeg, i svi zadaci su bili pristupachni. Iako medju shest odabranih zadataka nije bilo srpskih predloga, nastavili smo tradiciju predlaganja zadataka koji ulaze u uzhi izbor, gde su se ove godine nashla tri srpska zadatka - vishe je imala jedino Holandija. Koordinacija se po programu odvijala 18. i 19. jula, s tim shto je pregledanje zadataka drugog dana pochelo tek 18-tog popodne, tako da nismo morali da presedimo noc1 ishchitavajuc1i radove takmichara. Obavljenim poslom smo u principu zadovoljni, koordinatori su se trudili da poshteno odrade posao, iako su i njih i rukovodstva ekipa u nekim sluchajevima sputavale nametnute pomalo chudne sheme za bodovanje.

  • Prvi zadatak je lagana planimetrija koja se mogla uraditi elementarno primenom potencije tachke u odnosu na krug, ili uz sasvim malo rachuna, korishc1enjem Pitagorine teoreme, trigonometrije ili kompleksnih brojeva. Elementarno reshenje je ukljuchivalo dokazivanje da po chetiri tachke (od shest) lezhe na ukupno tri kruga koji svi imaju centar u centru O opisanog kruga trougla, pa se moraju poklapati. Dushan, Aleksandar i Marija su dokazali konciklichnost chetvorki tachaka trigonometrijom, a Luka slichnoshc1u. Vladimir je pokushao kompleksnim brojevima, ali je nezgodno postavio jednachine, rachuanjuc1i koordinate shest tachaka kao preseke prave i kruga, shto vodi kvadratnim jednachinama s kompleksnim koeficijentima; rezultat je bio rachun na vishe stranica iz koga nije uspeo da se ispetlja. Teodor je znatno veshtije pristupio kompleksnim brojevima, primetivshi da se centar trazhenog kruga mora poklapati sa O, i u samo par redova izrachunao rastojanja od tachke O do shest tachaka i dokazao da su jednaka. Na koordinaciji nam je pet sedmica podeljeno bez problema, dok je Vladimirov rad ocenjen dvojkom. Koordinatori su chesto darezhljivi na lakim zadacima, ali na nekom tezhem zadatku neuspeshan pokushaj rachuna poput Vladimirovog chesto biva kazhnjen nulom. Shteta za izgubljenih pet poena, ali opshta pouka koju bi trebalo izvuc1i jeste da kompleksni brojevi nisu charobni shtapic1 koji, bez obzira na to kako se primeni, reshava svaki zadatak - ako izraz prerano pochne da se komplikuje, bolje je na vreme odustati nego izgubiti dragocene sate i na kraju napisati neshto poput "sad se ovaj ogromni izraz lako izmnozhi i sredi", jer koordinatori za to nemaju samilosti.

  • Drugi zadatak je u delu pod (a) pomalo neobichna nejednakost, a pod (b) ispitivanje racionalnih sluchajeva jednakosti koje je u stvari teorija brojeva. Nejednakost se mozhe dokazati jednostavnom smenom ili diferencijalnim rachunom ako se pazhljivo sprovede, medjutim, iako je simetrichna, ne mozhe se jednostavno napasti Mjurhedovom nejednakoshc1u jer jednakost ne vazhi za {w x=y=z}. Deo (b) se svodi na jednostavnu kvadratnu diofantsku jednachinu. Dushan i Luka su ubacili smenu i brzo dokazali nejednakost, a onda se snashli i u diofantskoj jednachini i zaradili po 7 poena. Marija je iskusno sprovela metod Lagranzhovih mnozhilaca i detaljno ispitala granice intervala, ali se u drugom delu zakucala nekon shto je izrazila {w y} i {w z} preko {w x}. Koordinatori su isprva preterano insistirali na formalnostima, ali su na kraju prihvatili da je njen dokaz nejednakosti kompletan (4 poena), a na (b) je ochekivano dobila 1 poen. Teodor je isto koristio Lagranzhove mnozhioce, ali nije ispitao granice, shto je ozbiljan propust koji je u ovom sluchaju (po nashem mishljenju ipak prestrogo) kazhnjen sa chak 3 od 4 poena; deo pod (b) nije pazhljivo prochitao te se zaustavio na dokazu postojanja beskonachno mnogo realnih sluchajeva jednakosti, na chemu je zaradio drugi poen. Aleksandar i Vladimir su imali samo pokushaje koji su ocenjeni sa 1 i 0 poena: Aleksandar se dugo muchio s Lagranzhovim mnozhiocima, potom je pokushao da sve izmnozhi, ali bez uspeha. Utisak je da smo na ovom zadatku ipak mogli bolje. Treba obratiti pazhnju na greshke koje su uchenici pravili, pre svega na ispitivanje granica, i naravno pazhljivo chitati zadatke. Takodje, kao i u prvom zadatku, nikada ne baciti sve karte na samo jedan pristup (npr. na diferencijalni rachun).

  • Trec1i zadatak je teorija brojeva, ne preteshka i bez novih ideja. Slichan zadatak u kome se trazhi da {w n<sup>2</sup>+1} ima prost delilac {w p>2n} bio je poznat mnogim takmicharima, ukljuchujuc1i i nashe. Ono shto je chinilo tezhinu ovog zadatka bila je chinjenica da, ako je {w p>2n}, onda je samim tim i {w p>2n+√(2n)} - to nije teshko dokazati, ali se pokazalo neochekivanim za mnoge. Dushan je lepo video shta se deshava u zadatku i to je dokazao, chak malo ojachavshi ocenu iz zadatka, te sedmica nije bila sporna. Luka je bio na pravom putu, ali mu je posle jedne smeshno nesrec1ne rachunske greshke zadatak ispao iz ruku - dobio je neshto chudno, ali se nije vratio da proveri nego je sve precrtao i krenuo drugim (pogreshnim) putem. Koordinatori su insistirali na jednom poenu sa chim se nismo slagali, te smo bez dogovora preshli na sledec1i rad - Teodorov. Teodor je na zadatak pucao sachmarom iz svih uglova i prijavio nam da ga nije reshio. Medjutim, kad smo chitajuc1i njegov rad u sobi doshli do poslednje od 15 strana, chekalo nas je iznenadjenje - gotovo celo reshenje kojeg ni sam nije bio svestan, fali samo zakljuchak. Koordinatori prvobitno nisu primetili ovu stranu i ponudili su nam 1 poen, ali kad smo im je pokazali i objasnili podigli su ponudu na 6 shto smo radosno prihvatili. Tri nule su brzo podeljene; Vladimiru smo morali da prihvatimo nulu iako smo tvrdili da je kljuch mogao i drugachije da se tumachi, ali su se potom (valjda da nas obeshtete) koordinatori slozhili da Luki ipak daju 2. Ovaj poen c1e mu se kasnije ispostaviti kao presudan. Sve u svemu, po zbiru poena na ovom zadatku smo na visokom 9. mestu, a moglo je biti josh bolje da se uchenici nisu uplashili

  • Chetvrti zadatak je laka funkcionalna jednachina sa jednom starom zamkom. Naime, prilikom reshavanja se dolazi do relacije {w [f(x)-x][f(x)-1/x]=0}, iz chega su mnogi takmichari brzopleto zakljuchili da su {w f(x)=x} i {w f(x)=1/x} jedine moguc1e funkcije i tu izgubili mnogo poena. Srec1om, nashi uchenici su znali za ovu zamku i nisu se upecali. Jedino je Aleksandar ispustio jedan sluchaj u krajnjem ispitivanju funkcije i na tome izgubio poen, dok su ostali dobili po 7.

  • Peti zadatak je standardna kombinatorika u kojoj je najrasprostranjenije reshenje ukljuchivalo konstrukciju preslikavanja vishe-na-jedan iz skupa {w N} u skup M i onda dokaz da je "vishe" jednako {w 2<sup>k-n</sup>}. Bili su moguc1i i drugi pristupi, poput izvodjenja rekurentne veze za kardinalnosti skupova M i {w N}. Marija i Luka su ga bez problema uradili na prvi nachin i zaradili sedmice. Vladimir je konstruisao preslikavanje, ali je potom napravio greshku zamenivshi proizvod zbirom i zaglavio se u sredjivanju izraza za " vishe", shto je ocenjeno sa 3 poena po kljuchu. Teodor je radio na drugi nachin, ali je nepazhljivo sastavio rekurentnu vezu ispustivshi binomne koeficijente, shto je dodushe vodilo istom rezultatu, ali su koordinatori to pripisali srec1i i ponudili 3 poena. Moramo priznati da ovu greshku nismo ranije primetili (i mi smo ljudi), pa smo na koordinaciji i sami bili zatecheni. Smatrali smo da je 3 poena premalo jer je uchenik ochigledno znao shta radi, pa smo se dogovorili da ova greshka, po priznanju koordinatora jedinstvena, zasluzhuje da prenoc1i. Sutradan nam je ponudjeno 4 poena shto smo prihvatili, iako je shteta zbog greshke. Dushan je rezultat pogodio i dobio 1 poen, a Aleksandar ga promashio i dobio nulu. Tako smo na ovom zadatku u nivou svog ukupnog plasmana, ali ispod mnogih zapadnih zemalja kojima je zadatak odgovarao. Na kombinatorne zadatke sa mehanichkim prebrojavanjem treba ubuduc1e obratiti pazhnju.

  • Shesti zadatak je teshka ali uradiva geometrija. Niko od nashih takmichara je nije uradio; Luka je dobio poen za dokaz jednakosti dve tangentne duzhi koje se pojavljuju na slici, a Teodor za neshto shto se u shemi za bodovanje zvalo "jasan geometrijski opis presechne tachke dveju tangenti". Marija je dokazala jedno pomoc1no tvrdjenje koje je iskoristila da olaksha rachun kompleksnim brojevima, ali je rachun tek zapochela i ocenjena je nulom, kao i ostali nashi uchenici. Inache, shema za bodovanje je na ovom zadatku bila posebno chudna, predvidjajuc1i samo 0,1,2,6 ili 7 poena, shto je izazvalo vishe sporova.

Rezultati

Na olimpijadi je uchestvovalo 535 takmichara iz 97 zemalja, shto ovogodishnju olimpijadu chini najmasovnijom do sad. Ove godine su prvi put uchestvovali uchenici iz Hondurasa i Ujedinjenih Arapskih Emirata. Zabrinjavajuc1e je, medjutim, shto se ekipa Pakistana nije pojavila jer njihovi uchenici nisu dobili vize, shto se inache ne deshava prvi put nekoj ekipi na MMO, i zbog chega je zhiri olimpijade uputio protest nadlezhnom ministarstvu Shpanije. Podeljeno je 47 zlatnih (31 i vishe poena), 100 srebrnih (22-30 poena) i 120 bronzanih medalja (15-21 poena). Tri takmichara su osvojila maksimalna 42 poena, i to dva Kineza i jedan Amerikanac kineskog porekla. Rezultati nashih takmichara su dati sledec1om tabelom:

{w SRB 1}  Dushan Milijanchevic1   7 7 7 7 1 0   29    srebrna medalja  
{w SRB 2}  Luka Milic1evic1   7 7 2 7 7 1   31    zlatna medalja  
{w SRB 3}  Aleksandar Vasiljkovic1   7 1 0 6 0 0   14    pohvala  
{w SRB 4}  Teodor fon Burg   7 2 6 7 4 1   27    srebrna medalja  
{w SRB 5}  Vladimir Nikolic1   2 0 0 7 3 0   12    pohvala  
{w SRB 6}  Marija Jelic1   7 5 0 7 7 0   26    srebrna medalja  
  Srbija ukupno  3722154122 2   139  

Vec1 drugu godinu za redom jedan nash uchenik osvaja zlatnu medalju koja nam je proteklih godina toliko chesto izmicala za malo. Luka je uradio bash onako kako ochekujemo od psiholoshki stabilnog takmichara: prvi i drugi zadatak svakog dana, ispisane jasno i bez propusta, i na preostala dva taman dovoljno da mu izborimo sitnish da ga prenese preko granice za zlato. Trec1i zadatak nije reshio upravo zato shto ga je precenio, shto je, kako se chini, zajednichki imenilac nashih takmichara. Zapravo, verujemo da su svi nashi takmichari koji se probiju u olimpijsku ekipu sposobni da urade po dva zadatka svakog dana, iako nam se oni smeju kad im to kazhemo. Medjutim, za to je osim znanja potrebna i psiholoshka stabilnost, snalazhljivost, a ponekad i malo srec1e. Da je to lako, ne bi granica za zlato bila tu gde jeste, ali je uz odgovarajuc1e pripreme moguc1e postic1i.

Dushan je odlichno pocheo, uradivshi sva tri zadatka prvog dana, ali je u drugi dan ushao pod velikim pritiskom, ochigledno uplashen blizinom zlata do koga je mogao vec1 ove godine. Kod Teodora se vidi napredak u odnosu na proshlu godinu, ali mu je potrebno vreme da mu se novo znanje slegne, zbog chega je izgubio poene u drugom zadatku. U petom je nesrec1no izgubio poene, ali ih neochekivano dobio na trec1em i shestom. Uz malo srec1e je mogao do zlata, ali uz loshu srec1u je mogao i u bronzu. Chini se da mu je pre svega potrebna odgovarajuc1a praksa. Marija je dobar primer konstantnog napredka, a i svake godine joj je rezultat sve manje zavisio od trenutnog psihichkog stanja. To je dovelo do sasvim solidnog rezultata, iako joj je za parcijalne poene na inache neuradjenim zadacima mozhda nedostajalo malo i srec1e i veshtine. Aleksandar i Vladimir su mogli dosta bolje; Vladimir je u prvom zadatku svu energiju bacio na kompleksne brojeve koji mu nisu uspevali, shto je losha taktika. Aleksandar je nesrec1an previd u chetvrtom zadatku platio medaljom. Njegovi dometi su iznad pohvale, pa i iznad bronze, ali isto onako kao shto ume da uradi tezhak zadatak, ume i da ne uradi lak, a to je samo stvar vezhbe.


S leva nadesno: Huan, Vladimir Nikolic1, Teodor fon Burg, Dushan Milijanchevic1, Marija Jelic1, Luka Milic1evic1, Aleksandar Vasiljkovic1, Dushan Djukic1

Ekipni plasman je nezvanichna kategorija, ali se tradicionalno rachuna i s;hvata prilichno ozbiljno kao pokazatelj opshteg napretka u zemljama. Kina se vratila na chelo liste, a mozhe se primetiti da pri vrhu ima i iznenadjenja.

ZemljaPoeniZ S B
1. Kina 217 5 1 -
2. Rusija 199 6 - -
3. SAD 190 4 2 -
4. Juzhna Koreja 188 4 2 -
5. Iran 181 1 5 -
6. Tajland 175 2 3 1
7. Severna Koreja 173 2 4 -
8. Turska 170 3 1 2
9. Tajvan 168 2 4 -
10. Madjarska 165 2 3 1
11. Japan 163 2 3 1
12. Vijetnam 159 2 2 2
13. Poljska 157 2 3 1
14. Bugarska 154 2 1 3
15. Ukrajina 153 2 2 2
16. Brazil 152 - 5 1
17. Peru 141 1 3 2
Rumunija 141 - 4 2
19. Australija 140 - 5 1
20. Srbija 139 1 3 -
Nemachka 139 1 2 3
22. Kanada 135 - 2 4
23. Velika Britanija 133 - 4 2
24. Italija 132 - 3 3
25. Kazahstan 128 1 2 3
26. Belorusija 125 - 3 2
27. Izrael 120 1 1 2
28. Hong Kong 107 - 3 1
29. Mongolija 106 - 2 1
30. Francuska 104 - 1 4
31. Indija 103 - - 5
32. Singapur 98 - 1 3
ZemljaPoeniZ S B
33. Uzbekistan 94 - - 4
Holandija 94 - 2 2
35. Litvanija 92 - 1 2
36. Indonezija 88 - 1 2
37. Meksiko 87 - 1 1
38. Hrvatska 86 - - 3
39. Argentina 85 - 1 3
Grchka 85 - - 2
Cheshka 85 - 1 1
42. Gruzija 84 - - 5
43. Shpanija 82 - - 3
44. Juzhna Afrika 79 - 1 -
45. Kolumbija 77 - 2 -
46. Slovachka 76 - - 3
Turkmenistan 76 - - 4
48. Azerbejdzan 74 - - 3
Moldavija 74 - 1 -
50. Bosna i Hercegovina 68 - - 3
Slovenija 68 - - 2
Shvajcarska 68 - 1 1
53. Shvedska 67 - 1 -
54. Danska 66 - 2 -
55. Kostarika 65 - - 2
Malezija 65 - 1 -
57. Austrija 63 - - 1
58. Norveshka 62 1 - -
59. Belgija 61 - 1 1
Makedonija 61 - - 2
61. Luksemburg (5) 60 - - 2
Tadzikistan 60 - - 1
63. Letonija 58 - 1 -
Makao 58 - - 2
Maroko 58 - - 1
ZemljaPoeniZ S B
66. Jermenija 56 - - -
67. Portugal 55 - - 2
68. Albanija 53 - - 1
69. Chile (3) 49 - 1 1
70. Irska 45 - - -
71. Kipar 42 - - 1
Novi Zeland 42 - - -
73. Estonija 41 - - 1
74. Finska 40 - - 1
75. Bangladesh (4) 33 - - -
76. Island (5) 31 - - 1
Salvador (4) 31 - - -
78. Shri Lanka 29 - - -
79. Kirgistan (5) 28 - - -
Trinidad i Tobago 28 - - 1
81. Kuba (1) 27 - 1 -
82. Ekvador 26 - - -
83. Kambodza 25 - - -
84. Paragvaj (4) 24 - - 1
Crna Gora (3) 24 - - -
86. Filipini (3) 23 - - 1
87. Urugvaj (5) 22 - - -
88. Tunis (4) 20 - - -
89. Honduras (2) 17 - - -
90. Venecuela (2) 16 - - -
Gvatemala (4) 16 - - 1
Lihtenshtajn (2) 16 - - -
93. Portoriko (3) 9 - - -
94. Saudijska Arabija 8 - - -
95. Bolivija (5) 5 - - -
UAE (4) 5 - - -
97. Kuvajt (5) 3 - - -

Uznapredovali smo za tri mesta u odnosu na proshlu godinu; 20-to mesto je nash najbolji plasman u ovom veku, a i brz pogled na tabelu govori da smo se lako mogli popeti za josh par mesta. Uz odgovarajuc1i rad, nadamo se i boljem rezultatu sledec1e godine.

Da ovu olimpijadu ne pamtimo samo po lepom, pobrinuo se lopov koji je opljachkao ekipu na Madridskom aerodromu pred sam polazak iz Shpanije. Zamenik vodje Djukic1 je tako pretrpeo veliku materijalnu shtetu, a kako je ostao i bez lichnih dokumenata, bio je prinudjen da produzhi boravak u Shpaniji za dan kako bi izvadio privremena putna dokumenta.

Djordje Krtinic1, Dushan Djukic1

cosak
cosak cosak