Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

49. Međunarodna Matematička Olimpijada 2008.

49. Međunarodna matematička olimpijada je održana od 10. do 22. jula 2008. u Madridu u Španiji. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematičke olimpijade za srednje škole, održane 12. i 13. aprila u Beogradu:

  • Dušan Milijančević, 2. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Luka Milićević, 2. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Aleksandar Vasiljković, 2. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Teodor fon Burg, 8. razred osnovne škole u Matematičkoj gimnaziji
  • Vladimir Nikolić, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Marija Jelić, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu.
Ekipom su rukovodili Đorđe Krtinić sa Matematičkog fakulteta u Beogradu i Dušan Đukić sa Univerziteta u Torontu. Osim uobičajenih priprema, održane su i pripreme ekipe od 15. do 19. juna u Matematičkoj gimnaziji u Beogradu, kao i od 4. do 10. jula u Hemijsko-medicinskoj školi u Vršcu u koorganizaciji DMS.

Španija

Pošto od Beograda do Madrida ne postoji direktna avionska linija, presedali smo u Parizu. Sa izuzetkom kašnjenja aviona za Pariz u kojem su bili učenici i zamenik vođe, što je prouzrokovalo malo trke i rasprave sa službenicima u Parizu i skretanje s puta torbe jednog učenika koja nam je stigla dan kasnije, put je prošao bez problema. Vođa ekipe je doputovao 10-tog, četiri dana pre ostatka ekipe i odmah bio sproveden u Segoviju gde je zasedao žiri olimpijade, dok je ostatak ekipe bio smešten u Madridu, i to takmičari u univerzitetskom kampusu, a zamenici vođa u hotelu. Sa učenicima je bio ćudljivi vodič Huan koji, iz samo njemu znanih razloga, nije izdržao do kraja olimpijade.

Madrid, prestonica Španije, sa oko 5 miliona stanovnika, takođe je i ekonomski i kulturni centar zemlje i sedište kralja. Sagrađen je na suvoj visoravni oskudnog rastinja u srednjem delu Španije, naizgled u sred ničega. Leti temperature gotovo svaki dan prelaze 30 stepeni, a kiša je retka. Inače, grad su u 9. veku osnovali Mavari, koji su u to vreme vladali gotovo celim Iberijskim poluostrvom i kojima grad duguje i ime.

Organizovane su ekskurzije u Alkalu de Enares, Toledo i poznati dvorac Eskorijal. Alkala de Enares je gradić u blizini Madrida u kome se nalazi jedan od najstarijih univerziteta u Španiji, osnovan 1499. godine. Zabavila nas je priča kako su se ovde nekada polagali doktorski ispiti. Trajali su danima, a kandidat je imao na raspolaganju dva "pomoćnika" od kojih je drugi imao za cilj da ga dekoncentriše. Srećnik koji bi položio priređivao bi zabavu za ceo grad; međutim, i ako bi pao, bila bi organizovana zabava za grad, na kojoj bi bio javno ponižavan i izvrgnut ruglu. Toledo je gradić malo južno od Madrida, nekadašnja prestonica španskog carstva i mesto ukrštanja triju religija i kultura - katoličke, islamske i jevrejske. Muslimani i jevreji su proterani iz grada krajem 15. veka. Stari centar grada se nalazi unutar tvrđave na kamenitom brdu okruženom rekom Taho, i u njemu su vidljivi ostaci mavarske arhitekture, uključujući čak i ukrase u glavnoj gradskoj katedrali.



Gore: bulevar u Madridu; dole: pogled na Toledo

Zadaci i koordinacija

Od 26 zadataka užeg izbora žiri je odabrao šest - po običaju, prvi i četvrti su predviđeni kao laki, drugi i peti srednje težine, treći i šesti teži. Sudeći po ukupnim rezultatima, ovogodišnje takmičenje je bilo nešto lakše od prošlogodišnjeg, i svi zadaci su bili pristupačni. Iako među šest odabranih zadataka nije bilo srpskih predloga, nastavili smo tradiciju predlaganja zadataka koji ulaze u uži izbor, gde su se ove godine našla tri srpska zadatka - više je imala jedino Holandija. Koordinacija se po programu odvijala 18. i 19. jula, s tim što je pregledanje zadataka drugog dana počelo tek 18-tog popodne, tako da nismo morali da presedimo noć iščitavajući radove takmičara. Obavljenim poslom smo u principu zadovoljni, koordinatori su se trudili da pošteno odrade posao, iako su i njih i rukovodstva ekipa u nekim slučajevima sputavale nametnute pomalo čudne šeme za bodovanje.

  • Prvi zadatak je lagana planimetrija koja se mogla uraditi elementarno primenom potencije tačke u odnosu na krug, ili uz sasvim malo računa, korišćenjem Pitagorine teoreme, trigonometrije ili kompleksnih brojeva. Elementarno rešenje je uključivalo dokazivanje da po četiri tačke (od šest) leže na ukupno tri kruga koji svi imaju centar u centru O opisanog kruga trougla, pa se moraju poklapati. Dušan, Aleksandar i Marija su dokazali koncikličnost četvorki tačaka trigonometrijom, a Luka sličnošću. Vladimir je pokušao kompleksnim brojevima, ali je nezgodno postavio jednačine, račuanjući koordinate šest tačaka kao preseke prave i kruga, što vodi kvadratnim jednačinama s kompleksnim koeficijentima; rezultat je bio račun na više stranica iz koga nije uspeo da se ispetlja. Teodor je znatno veštije pristupio kompleksnim brojevima, primetivši da se centar traženog kruga mora poklapati sa O, i u samo par redova izračunao rastojanja od tačke O do šest tačaka i dokazao da su jednaka. Na koordinaciji nam je pet sedmica podeljeno bez problema, dok je Vladimirov rad ocenjen dvojkom. Koordinatori su često darežljivi na lakim zadacima, ali na nekom težem zadatku neuspešan pokušaj računa poput Vladimirovog često biva kažnjen nulom. Šteta za izgubljenih pet poena, ali opšta pouka koju bi trebalo izvući jeste da kompleksni brojevi nisu čarobni štapić koji, bez obzira na to kako se primeni, rešava svaki zadatak - ako izraz prerano počne da se komplikuje, bolje je na vreme odustati nego izgubiti dragocene sate i na kraju napisati nešto poput "sad se ovaj ogromni izraz lako izmnoži i sredi", jer koordinatori za to nemaju samilosti.

  • Drugi zadatak je u delu pod (a) pomalo neobična nejednakost, a pod (b) ispitivanje racionalnih slučajeva jednakosti koje je u stvari teorija brojeva. Nejednakost se može dokazati jednostavnom smenom ili diferencijalnim računom ako se pažljivo sprovede, međutim, iako je simetrična, ne može se jednostavno napasti Mjurhedovom nejednakošću jer jednakost ne važi za x=y=z. Deo (b) se svodi na jednostavnu kvadratnu diofantsku jednačinu. Dušan i Luka su ubacili smenu i brzo dokazali nejednakost, a onda se snašli i u diofantskoj jednačini i zaradili po 7 poena. Marija je iskusno sprovela metod Lagranžovih množilaca i detaljno ispitala granice intervala, ali se u drugom delu zakucala nekon što je izrazila y i z preko x. Koordinatori su isprva preterano insistirali na formalnostima, ali su na kraju prihvatili da je njen dokaz nejednakosti kompletan (4 poena), a na (b) je očekivano dobila 1 poen. Teodor je isto koristio Lagranžove množioce, ali nije ispitao granice, što je ozbiljan propust koji je u ovom slučaju (po našem mišljenju ipak prestrogo) kažnjen sa čak 3 od 4 poena; deo pod (b) nije pažljivo pročitao te se zaustavio na dokazu postojanja beskonačno mnogo realnih slučajeva jednakosti, na čemu je zaradio drugi poen. Aleksandar i Vladimir su imali samo pokušaje koji su ocenjeni sa 1 i 0 poena: Aleksandar se dugo mučio s Lagranžovim množiocima, potom je pokušao da sve izmnoži, ali bez uspeha. Utisak je da smo na ovom zadatku ipak mogli bolje. Treba obratiti pažnju na greške koje su učenici pravili, pre svega na ispitivanje granica, i naravno pažljivo čitati zadatke. Takođe, kao i u prvom zadatku, nikada ne baciti sve karte na samo jedan pristup (npr. na diferencijalni račun).

  • Treći zadatak je teorija brojeva, ne preteška i bez novih ideja. Sličan zadatak u kome se traži da n<sup>2</sup>+1 ima prost delilac p>2n bio je poznat mnogim takmičarima, uključujući i naše. Ono što je činilo težinu ovog zadatka bila je činjenica da, ako je p>2n, onda je samim tim i p>2n+√(2n) - to nije teško dokazati, ali se pokazalo neočekivanim za mnoge. Dušan je lepo video šta se dešava u zadatku i to je dokazao, čak malo ojačavši ocenu iz zadatka, te sedmica nije bila sporna. Luka je bio na pravom putu, ali mu je posle jedne smešno nesrećne računske greške zadatak ispao iz ruku - dobio je nešto čudno, ali se nije vratio da proveri nego je sve precrtao i krenuo drugim (pogrešnim) putem. Koordinatori su insistirali na jednom poenu sa čim se nismo slagali, te smo bez dogovora prešli na sledeći rad - Teodorov. Teodor je na zadatak pucao sačmarom iz svih uglova i prijavio nam da ga nije rešio. Međutim, kad smo čitajući njegov rad u sobi došli do poslednje od 15 strana, čekalo nas je iznenađenje - gotovo celo rešenje kojeg ni sam nije bio svestan, fali samo zaključak. Koordinatori prvobitno nisu primetili ovu stranu i ponudili su nam 1 poen, ali kad smo im je pokazali i objasnili podigli su ponudu na 6 što smo radosno prihvatili. Tri nule su brzo podeljene; Vladimiru smo morali da prihvatimo nulu iako smo tvrdili da je ključ mogao i drugačije da se tumači, ali su se potom (valjda da nas obeštete) koordinatori složili da Luki ipak daju 2. Ovaj poen će mu se kasnije ispostaviti kao presudan. Sve u svemu, po zbiru poena na ovom zadatku smo na visokom 9. mestu, a moglo je biti još bolje da se učenici nisu uplašili

  • Četvrti zadatak je laka funkcionalna jednačina sa jednom starom zamkom. Naime, prilikom rešavanja se dolazi do relacije [f(x)-x][f(x)-1/x]=0, iz čega su mnogi takmičari brzopleto zaključili da su f(x)=x i f(x)=1/x jedine moguće funkcije i tu izgubili mnogo poena. Srećom, naši učenici su znali za ovu zamku i nisu se upecali. Jedino je Aleksandar ispustio jedan slučaj u krajnjem ispitivanju funkcije i na tome izgubio poen, dok su ostali dobili po 7.

  • Peti zadatak je standardna kombinatorika u kojoj je najrasprostranjenije rešenje uključivalo konstrukciju preslikavanja više-na-jedan iz skupa N u skup M i onda dokaz da je "više" jednako 2<sup>k-n</sup>. Bili su mogući i drugi pristupi, poput izvođenja rekurentne veze za kardinalnosti skupova M i N. Marija i Luka su ga bez problema uradili na prvi način i zaradili sedmice. Vladimir je konstruisao preslikavanje, ali je potom napravio grešku zamenivši proizvod zbirom i zaglavio se u sređivanju izraza za " više", što je ocenjeno sa 3 poena po ključu. Teodor je radio na drugi način, ali je nepažljivo sastavio rekurentnu vezu ispustivši binomne koeficijente, što je doduše vodilo istom rezultatu, ali su koordinatori to pripisali sreći i ponudili 3 poena. Moramo priznati da ovu grešku nismo ranije primetili (i mi smo ljudi), pa smo na koordinaciji i sami bili zatečeni. Smatrali smo da je 3 poena premalo jer je učenik očigledno znao šta radi, pa smo se dogovorili da ova greška, po priznanju koordinatora jedinstvena, zaslužuje da prenoći. Sutradan nam je ponuđeno 4 poena što smo prihvatili, iako je šteta zbog greške. Dušan je rezultat pogodio i dobio 1 poen, a Aleksandar ga promašio i dobio nulu. Tako smo na ovom zadatku u nivou svog ukupnog plasmana, ali ispod mnogih zapadnih zemalja kojima je zadatak odgovarao. Na kombinatorne zadatke sa mehaničkim prebrojavanjem treba ubuduće obratiti pažnju.

  • Šesti zadatak je teška ali uradiva geometrija. Niko od naših takmičara je nije uradio; Luka je dobio poen za dokaz jednakosti dve tangentne duži koje se pojavljuju na slici, a Teodor za nešto što se u šemi za bodovanje zvalo "jasan geometrijski opis presečne tačke dveju tangenti". Marija je dokazala jedno pomoćno tvrđenje koje je iskoristila da olakša račun kompleksnim brojevima, ali je račun tek započela i ocenjena je nulom, kao i ostali naši učenici. Inače, šema za bodovanje je na ovom zadatku bila posebno čudna, predviđajući samo 0,1,2,6 ili 7 poena, što je izazvalo više sporova.

Rezultati

Na olimpijadi je učestvovalo 535 takmičara iz 97 zemalja, što ovogodišnju olimpijadu čini najmasovnijom do sad. Ove godine su prvi put učestvovali učenici iz Hondurasa i Ujedinjenih Arapskih Emirata. Zabrinjavajuće je, međutim, što se ekipa Pakistana nije pojavila jer njihovi učenici nisu dobili vize, što se inače ne dešava prvi put nekoj ekipi na MMO, i zbog čega je žiri olimpijade uputio protest nadležnom ministarstvu Španije. Podeljeno je 47 zlatnih (31 i više poena), 100 srebrnih (22-30 poena) i 120 bronzanih medalja (15-21 poena). Tri takmičara su osvojila maksimalna 42 poena, i to dva Kineza i jedan Amerikanac kineskog porekla. Rezultati naših takmičara su dati sledećom tabelom:

SRB 1  Dušan Milijančević   7 7 7 7 1 0   29    srebrna medalja  
SRB 2  Luka Milićević   7 7 2 7 7 1   31    zlatna medalja  
SRB 3  Aleksandar Vasiljković   7 1 0 6 0 0   14    pohvala  
SRB 4  Teodor fon Burg   7 2 6 7 4 1   27    srebrna medalja  
SRB 5  Vladimir Nikolić   2 0 0 7 3 0   12    pohvala  
SRB 6  Marija Jelić   7 5 0 7 7 0   26    srebrna medalja  
  Srbija ukupno  3722154122 2   139  

Već drugu godinu za redom jedan naš učenik osvaja zlatnu medalju koja nam je proteklih godina toliko često izmicala za malo. Luka je uradio baš onako kako očekujemo od psihološki stabilnog takmičara: prvi i drugi zadatak svakog dana, ispisane jasno i bez propusta, i na preostala dva taman dovoljno da mu izborimo sitniš da ga prenese preko granice za zlato. Treći zadatak nije rešio upravo zato što ga je precenio, što je, kako se čini, zajednički imenilac naših takmičara. Zapravo, verujemo da su svi naši takmičari koji se probiju u olimpijsku ekipu sposobni da urade po dva zadatka svakog dana, iako nam se oni smeju kad im to kažemo. Međutim, za to je osim znanja potrebna i psihološka stabilnost, snalažljivost, a ponekad i malo sreće. Da je to lako, ne bi granica za zlato bila tu gde jeste, ali je uz odgovarajuće pripreme moguće postići.

Dušan je odlično počeo, uradivši sva tri zadatka prvog dana, ali je u drugi dan ušao pod velikim pritiskom, očigledno uplašen blizinom zlata do koga je mogao već ove godine. Kod Teodora se vidi napredak u odnosu na prošlu godinu, ali mu je potrebno vreme da mu se novo znanje slegne, zbog čega je izgubio poene u drugom zadatku. U petom je nesrećno izgubio poene, ali ih neočekivano dobio na trećem i šestom. Uz malo sreće je mogao do zlata, ali uz lošu sreću je mogao i u bronzu. Čini se da mu je pre svega potrebna odgovarajuća praksa. Marija je dobar primer konstantnog napredka, a i svake godine joj je rezultat sve manje zavisio od trenutnog psihičkog stanja. To je dovelo do sasvim solidnog rezultata, iako joj je za parcijalne poene na inače neurađenim zadacima možda nedostajalo malo i sreće i veštine. Aleksandar i Vladimir su mogli dosta bolje; Vladimir je u prvom zadatku svu energiju bacio na kompleksne brojeve koji mu nisu uspevali, što je loša taktika. Aleksandar je nesrećan previd u četvrtom zadatku platio medaljom. Njegovi dometi su iznad pohvale, pa i iznad bronze, ali isto onako kao što ume da uradi težak zadatak, ume i da ne uradi lak, a to je samo stvar vežbe.


S leva nadesno: Huan, Vladimir Nikolić, Teodor fon Burg, Dušan Milijančević, Marija Jelić, Luka Milićević, Aleksandar Vasiljković, Dušan Đukić

Ekipni plasman je nezvanična kategorija, ali se tradicionalno računa i shvata prilično ozbiljno kao pokazatelj opšteg napretka u zemljama. Kina se vratila na čelo liste, a može se primetiti da pri vrhu ima i iznenađenja.

ZemljaPoeniZ S B
1. Kina 217 5 1 -
2. Rusija 199 6 - -
3. SAD 190 4 2 -
4. Južna Koreja 188 4 2 -
5. Iran 181 1 5 -
6. Tajland 175 2 3 1
7. Severna Koreja 173 2 4 -
8. Turska 170 3 1 2
9. Tajvan 168 2 4 -
10. Mađarska 165 2 3 1
11. Japan 163 2 3 1
12. Vijetnam 159 2 2 2
13. Poljska 157 2 3 1
14. Bugarska 154 2 1 3
15. Ukrajina 153 2 2 2
16. Brazil 152 - 5 1
17. Peru 141 1 3 2
Rumunija 141 - 4 2
19. Australija 140 - 5 1
20. Srbija 139 1 3 -
Nemačka 139 1 2 3
22. Kanada 135 - 2 4
23. Velika Britanija 133 - 4 2
24. Italija 132 - 3 3
25. Kazahstan 128 1 2 3
26. Belorusija 125 - 3 2
27. Izrael 120 1 1 2
28. Hong Kong 107 - 3 1
29. Mongolija 106 - 2 1
30. Francuska 104 - 1 4
31. Indija 103 - - 5
32. Singapur 98 - 1 3
ZemljaPoeniZ S B
33. Uzbekistan 94 - - 4
Holandija 94 - 2 2
35. Litvanija 92 - 1 2
36. Indonezija 88 - 1 2
37. Meksiko 87 - 1 1
38. Hrvatska 86 - - 3
39. Argentina 85 - 1 3
Grčka 85 - - 2
Češka 85 - 1 1
42. Gruzija 84 - - 5
43. Španija 82 - - 3
44. Južna Afrika 79 - 1 -
45. Kolumbija 77 - 2 -
46. Slovačka 76 - - 3
Turkmenistan 76 - - 4
48. Azerbejdzan 74 - - 3
Moldavija 74 - 1 -
50. Bosna i Hercegovina 68 - - 3
Slovenija 68 - - 2
Švajcarska 68 - 1 1
53. Švedska 67 - 1 -
54. Danska 66 - 2 -
55. Kostarika 65 - - 2
Malezija 65 - 1 -
57. Austrija 63 - - 1
58. Norveška 62 1 - -
59. Belgija 61 - 1 1
Makedonija 61 - - 2
61. Luksemburg (5) 60 - - 2
Tadzikistan 60 - - 1
63. Letonija 58 - 1 -
Makao 58 - - 2
Maroko 58 - - 1
ZemljaPoeniZ S B
66. Jermenija 56 - - -
67. Portugal 55 - - 2
68. Albanija 53 - - 1
69. Čile (3) 49 - 1 1
70. Irska 45 - - -
71. Kipar 42 - - 1
Novi Zeland 42 - - -
73. Estonija 41 - - 1
74. Finska 40 - - 1
75. Bangladeš (4) 33 - - -
76. Island (5) 31 - - 1
Salvador (4) 31 - - -
78. Šri Lanka 29 - - -
79. Kirgistan (5) 28 - - -
Trinidad i Tobago 28 - - 1
81. Kuba (1) 27 - 1 -
82. Ekvador 26 - - -
83. Kambodza 25 - - -
84. Paragvaj (4) 24 - - 1
Crna Gora (3) 24 - - -
86. Filipini (3) 23 - - 1
87. Urugvaj (5) 22 - - -
88. Tunis (4) 20 - - -
89. Honduras (2) 17 - - -
90. Venecuela (2) 16 - - -
Gvatemala (4) 16 - - 1
Lihtenštajn (2) 16 - - -
93. Portoriko (3) 9 - - -
94. Saudijska Arabija 8 - - -
95. Bolivija (5) 5 - - -
UAE (4) 5 - - -
97. Kuvajt (5) 3 - - -

Uznapredovali smo za tri mesta u odnosu na prošlu godinu; 20-to mesto je naš najbolji plasman u ovom veku, a i brz pogled na tabelu govori da smo se lako mogli popeti za još par mesta. Uz odgovarajući rad, nadamo se i boljem rezultatu sledeće godine.

Da ovu olimpijadu ne pamtimo samo po lepom, pobrinuo se lopov koji je opljačkao ekipu na Madridskom aerodromu pred sam polazak iz Španije. Zamenik vođe Đukić je tako pretrpeo veliku materijalnu štetu, a kako je ostao i bez ličnih dokumenata, bio je prinuđen da produži boravak u Španiji za dan kako bi izvadio privremena putna dokumenta.

Đorđe Krtinić, Dušan Đukić

cosak
cosak cosak