Пријава     Регистрација    

српски serbian srpski english ufl

cosak

53. Међународна Математичка Олимпијада: задаци и решења

Први дан (10. јул, 2012)

Задатак 1 (Evangelos Psychas, Грчка)
 

Дат је троугао \( ABC \). Нека је \( J \) центар споља приписаног круга који одговара темену \( A \). Овај круг додирује праве \( AB \), \( AC \) и \( BC \) у тачкама \( K \), \( L \), и \( M \), редом. Праве \( BM \) и \( JF \) се секу у \( F \), а праве \( KM \) и \( CJ \) у \( G \). Нека је \( S \) пресечна тачка правих \( AF \) и \( BC \), и нека је \( T \) пресечна тачка правих \( AG \) и \( BC \). Доказати да је \( M \) средиште дужи \( BC \).

Задатак 2 (Angelo di Pasquale, Аустралија)
 

Нека су \( a_2 \), \( a_3 \), \( \dots \), \( a_n \) позитивни реални бројеви који задовољавају \( a_2a_3\cdots a_n=1 \). Доказати да је \[ \left(a_2+1\right)^2\cdot \left(a_3+1\right)^3\cdots \left(a_n+1\right)^n> n^n.\]

Проблем 3 (David Arthur, Канада)
 

Погађалица је игра коју играју два играча, \( A \) и \( B \). Правила игре зависе од природних бројева \( k \) и \( n \) који су познати и једном и другом играчу.

На почетку игре \( A \) бира природне бројеве \( x \) и \( N \), такве да је \( 1\leq x\leq N \). Играч \( A \) не саопштава информацију о броју \( x \), а саопштава тачну вредност броја \( N \) играчу \( B \). Играч \( B \) покушава да добије информације о броју \( x \) питајући играча \( A \) питања следећег облика: у сваком питању \( B \) бира произвољан подскуп \( S \) скупа природних бројева (може бирати исти подскуп више пута) и пита играча \( A \) да ли \( x \) припада \( S \). Играч \( B \) може поставити питања колико жели. Након сваког питања играч \( A \) одмах одговара са да или не, међутим може да лаже; једино ограничење да међу произвољних \( k+1 \) узастопних одговора макар један мора бити истинит.

Након што \( B \) постави питања колико жели, он мора одабрати скуп \( X \) који се састоји од највише \( n \) природних бројева. Ако \( x \) припада \( X \) онда \( B \) побеђује; иначе, \( B \) губи. Доказати да:

(а) Ако је \( n\geq 2^k \), онда \( B \) може гарантовати победу.

(б) За свако довољно велико \( k \), постоји природан број \( n\geq 1.99^k \) такав да \( B \) не може гарантовати победу.

Други дан (11. јул, 2012)

Задатак 4 (Liam Baker, Јужна Африка)
 

Одредити све функције \( f:\mathbb Z\to\mathbb Z \) такве да, за све целе бројеве \( a \), \( b \), \( c \) за које је \( a+b+c=0 \), важи једнакост: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\]

Задатак 5 (Josef Tkadlec, Чешка)
 

Нека је \( ABC \) троугао у коме је \( \angle C=90^{\circ} \). Нека је \( D \) подножје висине из темена \( C \). Нека је \( X \) која припада унутрашњости дужи \( CD \). Нека је \( K \) тачка дужи \( AX \) таква да је \( BK=BC \). Аналогно, нека је \( L \) тачка дужи \( BX \) таква да је \( AL=AC \). Нека је \( M \) пресечна тачка правих \( AL \) и \( BK \).

Доказати да је \( MK=ML \).

Задатак 6 (Душан Ђукић, Србија)
 

Одредити све природне бројеве \( n \) за које постоје ненегативни цели бројеви \( a_1 \), \( a_2 \), \( \dots \), \( a_n \) тако да важи \[ \frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]

cosak
cosak cosak