Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

53. Međunarodna Matematička Olimpijada: zadaci i rešenja

Prvi dan (10. jul, 2012)

Zadatak 1 (Evangelos Psychas, Grčka)
 

Dat je trougao \( ABC \). Neka je \( J \) centar spolja pripisanog kruga koji odgovara temenu \( A \). Ovaj krug dodiruje prave \( AB \), \( AC \) i \( BC \) u tačkama \( K \), \( L \), i \( M \), redom. Prave \( BM \) i \( JF \) se seku u \( F \), a prave \( KM \) i \( CJ \) u \( G \). Neka je \( S \) presečna tačka pravih \( AF \) i \( BC \), i neka je \( T \) presečna tačka pravih \( AG \) i \( BC \). Dokazati da je \( M \) središte duži \( BC \).

Zadatak 2 (Angelo di Pasquale, Australija)
 

Neka su \( a_2 \), \( a_3 \), \( \dots \), \( a_n \) pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju \( a_2a_3\cdots a_n=1 \). Dokazati da je \[ \left(a_2+1\right)^2\cdot \left(a_3+1\right)^3\cdots \left(a_n+1\right)^n> n^n.\]

Problem 3 (David Arthur, Kanada)
 

Pogađalica je igra koju igraju dva igrača, \( A \) i \( B \). Pravila igre zavise od prirodnih brojeva \( k \) i \( n \) koji su poznati i jednom i drugom igraču.

Na početku igre \( A \) bira prirodne brojeve \( x \) i \( N \), takve da je \( 1\leq x\leq N \). Igrač \( A \) ne saopštava informaciju o broju \( x \), a saopštava tačnu vrednost broja \( N \) igraču \( B \). Igrač \( B \) pokušava da dobije informacije o broju \( x \) pitajući igrača \( A \) pitanja sledećeg oblika: u svakom pitanju \( B \) bira proizvoljan podskup \( S \) skupa prirodnih brojeva (može birati isti podskup više puta) i pita igrača \( A \) da li \( x \) pripada \( S \). Igrač \( B \) može postaviti pitanja koliko želi. Nakon svakog pitanja igrač \( A \) odmah odgovara sa da ili ne, međutim može da laže; jedino ograničenje da među proizvoljnih \( k+1 \) uzastopnih odgovora makar jedan mora biti istinit.

Nakon što \( B \) postavi pitanja koliko želi, on mora odabrati skup \( X \) koji se sastoji od najviše \( n \) prirodnih brojeva. Ako \( x \) pripada \( X \) onda \( B \) pobeđuje; inače, \( B \) gubi. Dokazati da:

(a) Ako je \( n\geq 2^k \), onda \( B \) može garantovati pobedu.

(b) Za svako dovoljno veliko \( k \), postoji prirodan broj \( n\geq 1.99^k \) takav da \( B \) ne može garantovati pobedu.

Drugi dan (11. jul, 2012)

Zadatak 4 (Liam Baker, Južna Afrika)
 

Odrediti sve funkcije \( f:\mathbb Z\to\mathbb Z \) takve da, za sve cele brojeve \( a \), \( b \), \( c \) za koje je \( a+b+c=0 \), važi jednakost: \[ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).\]

Zadatak 5 (Josef Tkadlec, Češka)
 

Neka je \( ABC \) trougao u kome je \( \angle C=90^{\circ} \). Neka je \( D \) podnožje visine iz temena \( C \). Neka je \( X \) koja pripada unutrašnjosti duži \( CD \). Neka je \( K \) tačka duži \( AX \) takva da je \( BK=BC \). Analogno, neka je \( L \) tačka duži \( BX \) takva da je \( AL=AC \). Neka je \( M \) presečna tačka pravih \( AL \) i \( BK \).

Dokazati da je \( MK=ML \).

Zadatak 6 (Dušan Đukić, Srbija)
 

Odrediti sve prirodne brojeve \( n \) za koje postoje nenegativni celi brojevi \( a_1 \), \( a_2 \), \( \dots \), \( a_n \) tako da važi \[ \frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]

cosak
cosak cosak