Пријава     Регистрација    

српски serbian srpski english ufl

cosak

56. Међународна Математичка Олимпијада 2015.

~~~~~ Душан Ђукић ~~~~~


Упозорење: Извештај који следи садржи личне ставове аутора који није машина (мада ради на Машинском факултету) и самим тим се није трудио да их задржи за себе.

 

56. Међународна математичка олимпијада је одржана од 4. до 16. јула 2015. у Чијанг Мају у Тајланду. Екипа Србије је одабрана на основу резултата Српске математичке олимпијаде за средње школе, одржане 27. и 28. марта у Београду:

  • Маријана Вујадиновић, 4. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Огњен Тошић, 2. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Иван Дамњановић, 4. разред гимназије "Бора Станковић" у Нишу;
  • Алекса Милојевић, 8. разред ОШ. при Математичкој гимназији у Београду
  • Алекса Константинов, 3. разред Математичке гимназије у Београду;
  • Анђела Шарковић, 4. разред гимназије "Светозар Марковић" у Нишу.

Екипом су руководили Душан Ђукић са Машинског факултета и Марко Радовановић са Математичког факултета Универзитета у Београду. Са екипом је као посматрач био и Милош Милосављевић, наставник гимназије "Светозар Марковић" у Нишу. Одлазак такмичара, вође и заменика на олимпијаду, као и припреме, финансирали су Друштво математичара Србије и НИС.

Припреме екипе пред ММО су одржане од 11. до 15. јуна у Математичкој гимназији и од 22. до 29. јуна у Хемијско-медицинској школи у Вршцу. Припреме су се састојале од 4 часа дневно, а у Вршцу је неизоставни део припрема чинио и самосталан рад на тзв. шортлисти (ужем избору предлога задатака) за ММО 2014. Припреме је финансијски подржала Математичка гимназија. Предавања су држали Владимир Балтић, Бојан Башић, Душан Ђукић, Миљан Кнежевић, Александар Пејчев, Марко Радовановић и Милош Стојаковић.

Тајланд

Тајланд је краљевина у срцу Индокине, западном свету вероватно најпознатија по рајским плажама. Клима у читавој земљи је тропска, монсунска са кишним периодом од маја
до октобра, а на далеком југу и екваторијална. Најтоплији месеци су март и април када температура дос- тиже 40 степени. У Бангкоку, који важи за најтоплију престоницу на свету, температура се ретко спушта испод 20 степени.

Данашњи Тајланђани су синтеза неколико сродних народа - иако се сви сматрају Таи народом, регионални идентитет (северни, североисточни, централни и јужни Тајланђани) се очувао. Велика већина Тајланђана су теравада будисти, мада на југу, где је јак малајски културни утицај, у приморским крајевима има и Тајланђана муслимана. Све до касног средњег века овим крајевима су владали други народи - Кмери, Мони и Малајци. Преци данашњих Тајланђана су се доселили са југа Кине у 13. веку и основали краљевство Лана на северу Тајланда, и Сукотај и Ајутају нешто јужније, под јаким културним утицајем Кмера од којих су примили будизам. С падом некада моћног царства Кмера (данас Камбоџе) краљевство Ајутаја се проширило далеко на југ и исток и остало најмоћнија држава у овом делу света до 18. века, притом асимилујући народе који су ту живели. Пошто сам допутовао раније, имао сам прилике да видим део разноликости земље путујући аутобусом од Бангкока на север, преко Ајутаје и Сукотаја ка Чијанг Мају. У неким аспектима, у односу на шумовити и брдовити север земље, средишњи низијски део Тајланда ми је изгледао као друга држава - другачији пејзаж и растиње, топлија клима (шта год то значило), другачија архитектура храмова. Чак ни људи нису изгледали исто као северњаци - имали су тамнији тен и понекад другачије црте лица, као да нису исти народ.

Када су 1767. године Бурманци напали и разорили Ајутају, престоница је премештена у Бангкок, до тада мало рибарско село. Данас је то град са преко 8 милиона становника и у сваком смислу је центар земље - сви остали градови имају мање од 150 хиљада становника. Свако ко путује у Тајланд прође кроз Бангкок. Његове најзначајније знаменитости су свакако величанствени будистички храмови и комплекс краљеве палате. Сам град је, попут многих азијских велеграда, хаотичан и саобраћајна закрчења су такорећи начин живота. Стари део града уз обалу реке Чао Праја је испресецан мноштвом канала повезаних с реком и грађен је наизглед без икаквог урбанистичког плана. Сваки покушај да се од тачке А до тачке В стигне "пречицом" мимо мапе обавезно завршава у ћорсокаку у лавиринту. С друге стране, град обилује и богатим четвртима и тржним центрима за вишу класу. Овде вишу класу углавном сачињавају Кинези. Тајландски Кинези се обично већ у другој генерацији потпуно асимилују, прихватајући имена, језик и религију доминантног становништва.



Горе: остаци старог града у Ајутаји; доле: храм у Чијанг Мају

Олимпијада се одржавала у Чијанг Мају, највећем граду севера Тајланда и престоници некадашњег краљевства Лана. Чијанг Мај је много питомији град од Бангкока и има пријатнију климу (по тајландским стандардима свежу, иако је и овде тропска клима). Домаћини су нас водили на екскурзије до познатих храмова Ват Чеди Луанг у старом граду и Ват Пратат Дои Сутеп на брду изнад града одакле се може видети цео град. Имали смо част да Олимпијаду отвори високо поштована краљева ћерка, принцеза Сириндон, уз фанфаре. Свуда по земљи могу се видети слике краља, као и принцезе која је ове године прославила јубиларни 60-ти рођендан. Остарели краљ у народу готово да има статус полубожанства, али краљевску породицу штите и чудни закони - овде не можете критиковати двор или будизам и проћи некажњено.

Задаци и координација

По обичају, учесници су радили шест задатака одабраних из шортлисте од 29 задатака - први и четврти су предвиђени да буду лаки, други и пети средње тежине, а трећи и шести тешки. Правило које је 2013. године предложио вођа екипе Уједињеног Краљевства - да два лака и два средња задатка треба да покрију све четири основне области (алгебра, комбинаторика, геометрија и теорија бројева) - и ове године је остало на снази.

задаци:                            решења:

Усвојен је и један српски задатак - теорија бројева под бројем 2 чији је аутор писац овог чланка. Последица тога је да смо ми били координатори на овом задатку екипи домаћина која у својим радовима, писаним неразумљивим писмом, није штедела папир.

Иначе, због једног бизарног инцидента, првобитно одабрани задаци за други дан такмичења (међу којима је био још један српски задатак од истог аутора) процурили су након првог дана. Ни најискуснији се не сећају да се овако нешто икад раније догодило. Иронично, за то смо сазнали на екскурзији док смо јахали слонове и биволе. Несуђени задаци су на брзину замењени другим, на запрепашћење жирија и на мој ужас.

За радознале, првобитни задаци другог дана су изгледали овако: ... Да ли би било лакше или теже да је тако остало, процените сами.

  • 1. задатак: Пет наших такмичара је имало потпуна решења. Комбинаторни аргумент у делу под (б) се код свих сводио на исту идеју, док су се примери у делу под (а) разликовали. Доста времена су потрошили на испис доказа да њихови примери задовољавају услове задатка. Сасвим неубичајено, координатори су накнадно одлучили да ови докази нису потребни. Добро је што наши ученици нису ризиковали, иако их је то коштало доста времена. Координаторима је једино било потребно превести Иванов рад, након чега су сви осим Маријане добили по 7 поена. Маријана није предала свој рад, нашта ћу морати да се осврнем касније. Да је ишта предала, сигурно не би имала нулу. Заиста, 1 поен се добијао за пример правилног многоугла (без доказа), и на овом задатку би само Чак Норис могао да заради нулу.

  • 2. задатак: Иако нема претешких идеја, овај задатак је био технички захтеван и, заједно са 5. задатком, главни кривац за неуобичајено ниске границе за сребро и злато. У нашој екипи Иван и Алекса млађи су имали само случај када су \( a \), \( b \) и \( c \) парни (1 поен), док су Огњен и Анђела имали тај случај и дељивост \( bc-a\mid a^2-1 \) (2 поена). Најдаље је догурао Алекса старији. Он је урадио случајеве када су \( a,b,c \) сви парни или сви непарни, а у "мешовитом" случају га је збрка са ознакама навела на грешку, те је испустио решење \( (2,6,11) \). Шема оцењивања није предвидела овакав догађај. Координаторима смо показали исправку његовог рада у три реда у покушају да му извучемо 6 поена, али коначних 5 је ипак праведно.

  • 3. задатак: Опет геометрија, трећу годину заредом, и опет не посебно тешка. Глобално слаба урађеност овог задатка може навести на погрешан закључак. Задатак се може урадити на више начина - сличност, радикалне осе, инверзија, или чак голи рачун. По правилу, на задацима на овој позицији тешко је добити два поена а не урадити задатак, али 1 поен се делио за доказ општепознате колинеарности тачака \( M,H,Q \). Сигуран сам да је свако од наших ученика могао лако да га добије, али само Огњен има тај поен, што није много добро. Могао бих да разглабам о начинима да се ишчупа 1 поен, али зашто не бисмо имали и 7? Изгледа да је реч о обичају да ученици раде задатке редом, што значи да не дирају 3. задатак док не реше прва два. Мишљења о оваквом приступу су подељена - лично се не слажем с њим. Поменућу само да изгледа да екипа Русије следи исту филозофију - они су у геометрији можда и најбољи на свету, али су толико настрадали на 2. задатку да су 3. једва стигли да опепеле.

  • 4. задатак: Након што се примети да је тврђење еквивалентно са симетричношћу правих \( FK \) и \( GL \) у односу на \( AO \), остаје обичан рачун углова. На оваквим задацима морамо да имамо 42 у збиру. Већ неко време имам утисак да наши ученици, и у геометрији и у другим областима, верују да је бубање теорије пречица ка успеху, презирући досадно вежбање као што је рачун углова. Рецимо, Алекса млађи се није сетио да прво израчуна углове на слици (уобичајена идеја у задацима овог нивоа), али се зато сетио радикалног центра и обртне хомотетије (напредније теорије која не води нигде). А тај поен је добио за слику јер је на њој означио неке једнаке углове. С друге стране, Огњен је изгубио поен само због штурог исписа. Наиме, координатори су инсистирали да импликација \( FX=GX\Rightarrow X\in AO \) захтева објашњење (нпр. "јер је \( AO \) симетрала дужи \( FG \)" би било довољно). Свађали смо се с њима сат и по, али није помогло. Координатори су посебно склони цепидлачењу на лаким задацима и на то треба бити спреман.

  • 5. задатак: Још увек нема назнака да функционалне једначине излазе из моде, што је донекле (не потпуно) случај са неједнакостима. Овде се добија релативно лако да је \( f(0)\in\{0,2\} \) - то су добили Огњен и Алекса млађи, и то је 1 поен. Случај \( f(0)\neq0 \) је лакши и вредео је 2 поена, а \( f(0)=0 \) осталих 5 поена. У решењу задатка кључну улогу има испитивање фиксних тачака, што није нова идеја. Само Алекса старији је успео - чисто решење и 7 поена. Иван и Анђела су осим случаја \( f(0)=2 \) доказали и да у случају \( f(0)=0 \) важи \( f(-1)=-1 \), што им је донело по 3 поена. Иван је урадио нешто више испитујући фиксне тачке, али недовољно да би добио 4. Маријана је уместо \( f(-1)=-1 \) доказала нешто што смо креативно протумачили као постојање ненула фиксне тачке, па смо и њој извукли 3 поена.

  • 6. задатак: Ово је званично комбинаторика, иако је више алгебра од неких задатака који су ранијих година били предлагани као "алгебре". Такође је и лакши од многих шестих задатака последњих година. Ипак, многима за њега није остало времена јер су се мучили на 5. задатку. Наши су сви предали празне коверте. Занимљиво је да је аутор задатка, Аустралијанац, нашао инспирацију за задатак у жонглирању. Наиме, жонглер са 2015 лоптица за свако \( n \) баца по једну лоптицу у моменту \( n \), а она му се враћа у моменту \( n+a_n \), тако да никоје две лоптице неће пасти у исто време.

Резултати

Завршни састанак жирија је одржан 14-тог увече, када је координација била готова. По први пут смо гласали о границама за медаље "наслепо" - био нам је познат број медаља, али не и поени (који су били делимично скривени). Изгласана је опција са највишим границама. Очигледно се већина вођа екипа бавила статистичким прорачунима како би проценила границе. Ја нисам, па када је објављено да смо изгласали злато са 29 поена, нисам био изненађен. Утолико сам се више изненадио када је исправљена, како се испоставило, грешка у куцању, а 29 постало 26. Алекса старији доби злато ни крив ни дужан. Ова рекордно ниска граница за злато је вероватно последица технички захтевних задатака на позицијама 2 и 5. И сребро је ниско, са 19, али два лака задатка су ипак поставила границу за бронзу на разумних 14.

Дакле, ево наших резултата:

SRB 1  Маријана Вујадиновић   0 0 0 7 3 0  10   похвала
SRB 2  Огњен Тошић   7 2 1 6 1 0  17   бронзана медаља
SRB 3  Иван Дамњановић   7 1 0 7 3 0  18   бронзана медаља
SRB 4  Алекса Милојевић   7 1 0 1 1 0  10   похвала
SRB 5  Алекса Константинов   7 5 0 7 7 0  26   златна медаља
SRB 6  Анђела Шарковић   7 2 0 7 3 0  19   сребрна медаља
  Србија укупно 3511 1 3518 0  100

Тако већ девети пут заредом имамо злато у екипи. Алекса је деловао најсигурније и практично (до на два поена изгубљена у журби) урадио четири задатка - био сам уверен да ће добити сребро, али срећа прати храбре. Анђела је одбранила прошлогодишње сребро, али није пружила максимум - види се да је мало радила ове године. Огњен је урадио пристојно, иако сам се надао да ће или он или Алекса старији успети нешто да ураде и са 3. задатком. Алекса млађи има још четири шансе, за први пут није лоше, искуство ће доћи с временом, али изгледа да му је геометрија слаба тачка, што се поправља вежбањем. Сећам се да је исти проблем својевремено имао и Иван, а он је сада без проблема решио (лак али неизрачунљив) 4. задатак. Маријана је, ваљда у наступу малодушности, првог дана предала само празне коверте, због чега је вероватно изгубила медаљу. Не разумем. Не предати ништа значи нашкодити и себи и целој екипи, и искрено се надам да ово више никад неће пасти некоме на памет. Ипак, похвално је што другог дана није само отишла да "овери нулу", него се борила и ишчупала похвалу.

Можете да погледате и екипне резултате:

ЗемљаПоениЗСБ
1. САД    185 5 1 -
2. Кина    181 4 2 -
3. Јужна Кореја    161 3 1 2
4. Северна Кореја    156 3 3 -
5. Вијетнам    151 2 3 1
6. Аустралија    148 2 4 -
7. Иран    145 3 2 1
8. Русија    141 - 6 -
9. Канада    140 2 - 4
10. Сингапур    139 1 4 1
11. Украјина    135 2 3 1
12. Тајланд    134 2 3 1
13. Румунија    132 1 4 1
14. Француска    120 - 3 3
15. Хрватска    119 1 3 1
16. Перу    118 2 2 1
17. Пољска    117 1 1 4
18. Тајван    115 - 4 1
19. Мексико    114 1 2 3
20. Мађарска    113 - 3 3
Турска    113 - 5 -
22. Бразил    109 - 3 3
Јапан    109 - 3 3
Велика Британија    109 - 4 1
25. Казахстан    105 1 1 2
26. Јерменија    104 - 1 5
27. Немачка    102 - 2 3
28. Хонг Конг    101 - 2 3
29. Бугарска    100 - 2 1
Индонезија    100 - 2 4
Италија    100 1 2 -
Србија    100 1 1 2
33. Бангладеш     97 - 1 4
Словачка     97 - 2 3
35. Макао     88 - 1 2
ЗемљаПоениЗСБ
36. Филипини     87 - 2 2
37. Индија     86 - 1 2
38. Молдавија     85 - 1 2
39. Белорусија     84 - - 3
40. Израел     83 1 - 2
41. Саудијска Арабија     81 - 1 3
42. Грузија     80 - 1 3
43. Босна и Херцеговина     76 - - 2
Холандија     76 - - 3
45. Чешка     74 - - 3
Монголија     74 - - 2
Швајцарска     74 - - 3
48. Азербејџан     73 - - 2
49. Колумбија     72 - - 4
Нови Зеланд     72 - - 2
51. Грчка     71 - 1 2
52. Аргентина     70 - - 1
Португал     70 - - 3
54. Сирија     69 - 1 1
55. Јужна Африка     68 - - 1
56. Белгија     67 - 1 -
57. Малезија     66 - - 3
58. Туркменистан     64 - - 2
Узбекистан     64 - - 3
60. Аустрија     63 - - 3
Шведска     63 - - 2
62. Алжир     60 - 1 1
63. Кипар     58 - 1 -
64. Таџикистан (5)     57 - 1 1
65. Литванија     54 - - 1
Норвешка     54 - 1 -
67. Костарика     53 - - 2
Парагвај     53 - - 3
69. Данска     52 - - 2
ЗемљаПоениЗСБ
70. Естонија     51 - - 1
Шри Ланка     51 - - -
72. Шпанија     47 - - 1
73. Словенија     46 - - 1
74. Македонија     45 - - 1
75. Исланд     41 - - -
Тунис (4)     41 - - 1
77. Албанија     37 - - -
Ирска     37 - - -
79. Летонија     36 - - -
80. Еквадор     27 - - -
Мароко     27 - - -
82. Финска     26 - - -
Никарагва (3)     26 - - -
Тринидад и Тобаго (4)     26 - 1 -
85. Пакистан     25 - - 1
86. Камбоџа     24 - - -
Косово     24 - - -
88. Нигерија     22 - - -
89. Црна Гора (3)     19 - - 1
90. Лихтенштајн (1)     18 - - 1
Порторико (3)     18 - - 1
92. Киргистан     17 - - -
93. Уругвај     16 - - -
94. Куба (1)     15 - - 1
95. Салвадор (4)     14 - - -
96. Венецуела (2)     13 - - -
97. Чиле (2)     12 - - -
Луксембург (2)     12 - - -
99. Панама (3)      9 - - -
100. Уганда (5)      6 - - -
101. Боливија (5)      5 - - -
Гана (5)      5 - - -
103. Боцвана      1 - - -
104. Танзанија (3)      0 - - -

Наш екипни резултат је у границама нормале. Поени су нам слабији него прошле године, али је и такмичење сада било теже. Свакако смо желели боље, а и брз поглед на успех наших западних комшија нам говори да овим не треба да будемо задовољни. С друге стране, ипак смо доста напредовали после катастрофе на Балканијади. Шта се то тада десило, и даље нам је мистерија. Волим да верујем да су и интензивне припреме којима смо малтретирали екипу након Балканијаде допринеле да се ученици врате у форму.

Зашто истичем резултат Хрвата када има још 27 земаља које су биле боље од нас? Ваљда је јасно, циљ ми је да се замислимо. Њихов овако висок пласман није сплет околности, већ резултат озбиљног схватања Олимпијаде и организованог рада последњих година. Такође, њихови ученици активно раде математику током све четири године средње школе.

За разлику од њих, наши ученици у великом броју случајева последњу годину школовања (често и две) готово у потпуности посвете одласку на Кембриџ. Ово ће нам у будућности представљати велики проблем ако се нешто не промени. Дирнућу у ту "светињу", па ме слободно гађајте јајима. На страну штетна атмосфера "отићи из земље по сваку цену" која влада већ годинама, отићи на Кембриџ није никакав посебан успех. Кембриџ је само средство, он није циљ. Циљ је математика. Можда мислите да можете себи да дозволите без последица да пар месеци не радите математику? Грешите. Из форме ћете изаћи толико брзо да је то застрашујуће. Није ваљда да верујете да је то оправдано зарад "виших циљева", и да у те више циљеве сврставате Кембриџ?

cosak
cosak cosak