Log In     Register    

српски serbian srpski     english ufl

cosak

56. Medjunarodna Matematichka Olimpijada 2015.

~~~~~ Dushan Djukic1 ~~~~~


Upozorenje: Izveshtaj koji sledi sadrzhi lichne stavove autora koji nije mashina (mada radi na Mashinskom fakultetu) i samim tim se nije trudio da ih zadrzhi za sebe.

 

56. Medjunarodna matematichka olimpijada je odrzhana od 4. do 16. jula 2015. u Chijang Maju u Tajlandu. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematichke olimpijade za srednje shkole, odrzhane 27. i 28. marta u Beogradu:

  • Marijana Vujadinovic1, 4. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Ognjen Toshic1, 2. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Ivan Damnjanovic1, 4. razred gimnazije "Bora Stankovic1" u Nishu;
  • Aleksa Milojevic1, 8. razred OSh. pri Matematichkoj gimnaziji u Beogradu
  • Aleksa Konstantinov, 3. razred Matematichke gimnazije u Beogradu;
  • Andjela Sharkovic1, 4. razred gimnazije "Svetozar Markovic1" u Nishu.

Ekipom su rukovodili Dushan Djukic1 sa Mashinskog fakulteta i Marko Radovanovic1 sa Matematichkog fakulteta Univerziteta u Beogradu. Sa ekipom je kao posmatrach bio i Milosh Milosavljevic1, nastavnik gimnazije "Svetozar Markovic1" u Nishu. Odlazak takmichara, vodje i zamenika na olimpijadu, kao i pripreme, finansirali su Drushtvo matematichara Srbije i NIS.

Pripreme ekipe pred MMO su odrzhane od 11. do 15. juna u Matematichkoj gimnaziji i od 22. do 29. juna u Hemijsko-medicinskoj shkoli u Vrshcu. Pripreme su se sastojale od 4 chasa dnevno, a u Vrshcu je neizostavni deo priprema chinio i samostalan rad na tzv. shortlisti (uzhem izboru predloga zadataka) za MMO 2014. Pripreme je finansijski podrzhala Matematichka gimnazija. Predavanja su drzhali Vladimir Baltic1, Bojan Bashic1, Dushan Djukic1, Miljan Knezhevic1, Aleksandar Pejchev, Marko Radovanovic1 i Milosh Stojakovic1.

Tajland

Tajland je kraljevina u srcu Indokine, zapadnom svetu verovatno najpoznatija po rajskim plazhama. Klima u chitavoj zemlji je tropska, monsunska sa kishnim periodom od maja
do oktobra, a na dalekom jugu i ekvatorijalna. Najtopliji meseci su mart i april kada temperatura dos- tizhe 40 stepeni. U Bangkoku, koji vazhi za najtopliju prestonicu na svetu, temperatura se retko spushta ispod 20 stepeni.

Danashnji Tajlandjani su sinteza nekoliko srodnih naroda - iako se svi smatraju Tai narodom, regionalni identitet (severni, severoistochni, centralni i juzhni Tajlandjani) se ochuvao. Velika vec1ina Tajlandjana su teravada budisti, mada na jugu, gde je jak malajski kulturni uticaj, u primorskim krajevima ima i Tajlandjana muslimana. Sve do kasnog srednjeg veka ovim krajevima su vladali drugi narodi - Kmeri, Moni i Malajci. Preci danashnjih Tajlandjana su se doselili sa juga Kine u 13. veku i osnovali kraljevstvo Lana na severu Tajlanda, i Sukotaj i Ajutaju neshto juzhnije, pod jakim kulturnim uticajem Kmera od kojih su primili budizam. S padom nekada moc1nog carstva Kmera (danas Kambodzhe) kraljevstvo Ajutaja se proshirilo daleko na jug i istok i ostalo najmoc1nija drzhava u ovom delu sveta do 18. veka, pritom asimilujuc1i narode koji su tu zhiveli. Poshto sam doputovao ranije, imao sam prilike da vidim deo raznolikosti zemlje putujuc1i autobusom od Bangkoka na sever, preko Ajutaje i Sukotaja ka Chijang Maju. U nekim aspektima, u odnosu na shumoviti i brdoviti sever zemlje, sredishnji nizijski deo Tajlanda mi je izgledao kao druga drzhava - drugachiji pejzazh i rastinje, toplija klima (shta god to znachilo), drugachija arhitektura hramova. Chak ni ljudi nisu izgledali isto kao severnjaci - imali su tamniji ten i ponekad drugachije crte lica, kao da nisu isti narod.

Kada su 1767. godine Burmanci napali i razorili Ajutaju, prestonica je premeshtena u Bangkok, do tada malo ribarsko selo. Danas je to grad sa preko 8 miliona stanovnika i u svakom smislu je centar zemlje - svi ostali gradovi imaju manje od 150 hiljada stanovnika. Svako ko putuje u Tajland prodje kroz Bangkok. Njegove najznachajnije znamenitosti su svakako velichanstveni budistichki hramovi i kompleks kraljeve palate. Sam grad je, poput mnogih azijskih velegrada, haotichan i saobrac1ajna zakrchenja su takorec1i nachin zhivota. Stari deo grada uz obalu reke Chao Praja je ispresecan mnoshtvom kanala povezanih s rekom i gradjen je naizgled bez ikakvog urbanistichkog plana. Svaki pokushaj da se od tachke A do tachke V stigne "prechicom" mimo mape obavezno zavrshava u c1orsokaku u lavirintu. S druge strane, grad obiluje i bogatim chetvrtima i trzhnim centrima za vishu klasu. Ovde vishu klasu uglavnom sachinjavaju Kinezi. Tajlandski Kinezi se obichno vec1 u drugoj generaciji potpuno asimiluju, prihvatajuc1i imena, jezik i religiju dominantnog stanovnishtva.



Gore: ostaci starog grada u Ajutaji; dole: hram u Chijang Maju

Olimpijada se odrzhavala u Chijang Maju, najvec1em gradu severa Tajlanda i prestonici nekadashnjeg kraljevstva Lana. Chijang Maj je mnogo pitomiji grad od Bangkoka i ima prijatniju klimu (po tajlandskim standardima svezhu, iako je i ovde tropska klima). Domac1ini su nas vodili na ekskurzije do poznatih hramova Vat Chedi Luang u starom gradu i Vat Pratat Doi Sutep na brdu iznad grada odakle se mozhe videti ceo grad. Imali smo chast da Olimpijadu otvori visoko poshtovana kraljeva c1erka, princeza Sirindon, uz fanfare. Svuda po zemlji mogu se videti slike kralja, kao i princeze koja je ove godine proslavila jubilarni 60-ti rodjendan. Ostareli kralj u narodu gotovo da ima status polubozhanstva, ali kraljevsku porodicu shtite i chudni zakoni - ovde ne mozhete kritikovati dvor ili budizam i proc1i nekazhnjeno.

Zadaci i koordinacija

Po obichaju, uchesnici su radili shest zadataka odabranih iz shortliste od 29 zadataka - prvi i chetvrti su predvidjeni da budu laki, drugi i peti srednje tezhine, a trec1i i shesti teshki. Pravilo koje je 2013. godine predlozhio vodja ekipe Ujedinjenog Kraljevstva - da dva laka i dva srednja zadatka treba da pokriju sve chetiri osnovne oblasti (algebra, kombinatorika, geometrija i teorija brojeva) - i ove godine je ostalo na snazi.

zadaci:                            reshenja:

Usvojen je i jedan srpski zadatak - teorija brojeva pod brojem 2 chiji je autor pisac ovog chlanka. Posledica toga je da smo mi bili koordinatori na ovom zadatku ekipi domac1ina koja u svojim radovima, pisanim nerazumljivim pismom, nije shtedela papir.

Inache, zbog jednog bizarnog incidenta, prvobitno odabrani zadaci za drugi dan takmichenja (medju kojima je bio josh jedan srpski zadatak od istog autora) procurili su nakon prvog dana. Ni najiskusniji se ne sec1aju da se ovako neshto ikad ranije dogodilo. Ironichno, za to smo saznali na ekskurziji dok smo jahali slonove i bivole. Nesudjeni zadaci su na brzinu zamenjeni drugim, na zaprepashc1enje zhirija i na moj uzhas.

Za radoznale, prvobitni zadaci drugog dana su izgledali ovako: ... Da li bi bilo lakshe ili tezhe da je tako ostalo, procenite sami.

  • 1. zadatak: Pet nashih takmichara je imalo potpuna reshenja. Kombinatorni argument u delu pod (b) se kod svih svodio na istu ideju, dok su se primeri u delu pod (a) razlikovali. Dosta vremena su potroshili na ispis dokaza da njihovi primeri zadovoljavaju uslove zadatka. Sasvim neubichajeno, koordinatori su naknadno odluchili da ovi dokazi nisu potrebni. Dobro je shto nashi uchenici nisu rizikovali, iako ih je to koshtalo dosta vremena. Koordinatorima je jedino bilo potrebno prevesti Ivanov rad, nakon chega su svi osim Marijane dobili po 7 poena. Marijana nije predala svoj rad, nashta c1u morati da se osvrnem kasnije. Da je ishta predala, sigurno ne bi imala nulu. Zaista, 1 poen se dobijao za primer pravilnog mnogougla (bez dokaza), i na ovom zadatku bi samo Chak Noris mogao da zaradi nulu.

  • 2. zadatak: Iako nema preteshkih ideja, ovaj zadatak je bio tehnichki zahtevan i, zajedno sa 5. zadatkom, glavni krivac za neuobichajeno niske granice za srebro i zlato. U nashoj ekipi Ivan i Aleksa mladji su imali samo sluchaj kada su \( a \), \( b \) i \( c \) parni (1 poen), dok su Ognjen i Andjela imali taj sluchaj i deljivost \( bc-a\mid a^2-1 \) (2 poena). Najdalje je dogurao Aleksa stariji. On je uradio sluchajeve kada su \( a,b,c \) svi parni ili svi neparni, a u "meshovitom" sluchaju ga je zbrka sa oznakama navela na greshku, te je ispustio reshenje \( (2,6,11) \). Shema ocenjivanja nije predvidela ovakav dogadjaj. Koordinatorima smo pokazali ispravku njegovog rada u tri reda u pokushaju da mu izvuchemo 6 poena, ali konachnih 5 je ipak pravedno.

  • 3. zadatak: Opet geometrija, trec1u godinu zaredom, i opet ne posebno teshka. Globalno slaba uradjenost ovog zadatka mozhe navesti na pogreshan zakljuchak. Zadatak se mozhe uraditi na vishe nachina - slichnost, radikalne ose, inverzija, ili chak goli rachun. Po pravilu, na zadacima na ovoj poziciji teshko je dobiti dva poena a ne uraditi zadatak, ali 1 poen se delio za dokaz opshtepoznate kolinearnosti tachaka \( M,H,Q \). Siguran sam da je svako od nashih uchenika mogao lako da ga dobije, ali samo Ognjen ima taj poen, shto nije mnogo dobro. Mogao bih da razglabam o nachinima da se ishchupa 1 poen, ali zashto ne bismo imali i 7? Izgleda da je rech o obichaju da uchenici rade zadatke redom, shto znachi da ne diraju 3. zadatak dok ne reshe prva dva. Mishljenja o ovakvom pristupu su podeljena - lichno se ne slazhem s njim. Pomenuc1u samo da izgleda da ekipa Rusije sledi istu filozofiju - oni su u geometriji mozhda i najbolji na svetu, ali su toliko nastradali na 2. zadatku da su 3. jedva stigli da opepele.

  • 4. zadatak: Nakon shto se primeti da je tvrdjenje ekvivalentno sa simetrichnoshc1u pravih \( FK \) i \( GL \) u odnosu na \( AO \), ostaje obichan rachun uglova. Na ovakvim zadacima moramo da imamo 42 u zbiru. Vec1 neko vreme imam utisak da nashi uchenici, i u geometriji i u drugim oblastima, veruju da je bubanje teorije prechica ka uspehu, preziruc1i dosadno vezhbanje kao shto je rachun uglova. Recimo, Aleksa mladji se nije setio da prvo izrachuna uglove na slici (uobichajena ideja u zadacima ovog nivoa), ali se zato setio radikalnog centra i obrtne homotetije (naprednije teorije koja ne vodi nigde). A taj poen je dobio za sliku jer je na njoj oznachio neke jednake uglove. S druge strane, Ognjen je izgubio poen samo zbog shturog ispisa. Naime, koordinatori su insistirali da implikacija \( FX=GX\Rightarrow X\in AO \) zahteva objashnjenje (npr. "jer je \( AO \) simetrala duzhi \( FG \)" bi bilo dovoljno). Svadjali smo se s njima sat i po, ali nije pomoglo. Koordinatori su posebno skloni cepidlachenju na lakim zadacima i na to treba biti spreman.

  • 5. zadatak: Josh uvek nema naznaka da funkcionalne jednachine izlaze iz mode, shto je donekle (ne potpuno) sluchaj sa nejednakostima. Ovde se dobija relativno lako da je \( f(0)\in\{0,2\} \) - to su dobili Ognjen i Aleksa mladji, i to je 1 poen. Sluchaj \( f(0)\neq0 \) je lakshi i vredeo je 2 poena, a \( f(0)=0 \) ostalih 5 poena. U reshenju zadatka kljuchnu ulogu ima ispitivanje fiksnih tachaka, shto nije nova ideja. Samo Aleksa stariji je uspeo - chisto reshenje i 7 poena. Ivan i Andjela su osim sluchaja \( f(0)=2 \) dokazali i da u sluchaju \( f(0)=0 \) vazhi \( f(-1)=-1 \), shto im je donelo po 3 poena. Ivan je uradio neshto vishe ispitujuc1i fiksne tachke, ali nedovoljno da bi dobio 4. Marijana je umesto \( f(-1)=-1 \) dokazala neshto shto smo kreativno protumachili kao postojanje nenula fiksne tachke, pa smo i njoj izvukli 3 poena.

  • 6. zadatak: Ovo je zvanichno kombinatorika, iako je vishe algebra od nekih zadataka koji su ranijih godina bili predlagani kao "algebre". Takodje je i lakshi od mnogih shestih zadataka poslednjih godina. Ipak, mnogima za njega nije ostalo vremena jer su se muchili na 5. zadatku. Nashi su svi predali prazne koverte. Zanimljivo je da je autor zadatka, Australijanac, nashao inspiraciju za zadatak u zhongliranju. Naime, zhongler sa 2015 loptica za svako \( n \) baca po jednu lopticu u momentu \( n \), a ona mu se vrac1a u momentu \( n+a_n \), tako da nikoje dve loptice nec1e pasti u isto vreme.

Rezultati

Zavrshni sastanak zhirija je odrzhan 14-tog uveche, kada je koordinacija bila gotova. Po prvi put smo glasali o granicama za medalje "naslepo" - bio nam je poznat broj medalja, ali ne i poeni (koji su bili delimichno skriveni). Izglasana je opcija sa najvishim granicama. Ochigledno se vec1ina vodja ekipa bavila statistichkim prorachunima kako bi procenila granice. Ja nisam, pa kada je objavljeno da smo izglasali zlato sa 29 poena, nisam bio iznenadjen. Utoliko sam se vishe iznenadio kada je ispravljena, kako se ispostavilo, greshka u kucanju, a 29 postalo 26. Aleksa stariji dobi zlato ni kriv ni duzhan. Ova rekordno niska granica za zlato je verovatno posledica tehnichki zahtevnih zadataka na pozicijama 2 i 5. I srebro je nisko, sa 19, ali dva laka zadatka su ipak postavila granicu za bronzu na razumnih 14.

Dakle, evo nashih rezultata:

{w SRB 1}  Marijana Vujadinovic1   0 0 0 7 3 0  10   pohvala
{w SRB 2}  Ognjen Toshic1   7 2 1 6 1 0  17   bronzana medalja
{w SRB 3}  Ivan Damnjanovic1   7 1 0 7 3 0  18   bronzana medalja
{w SRB 4}  Aleksa Milojevic1   7 1 0 1 1 0  10   pohvala
{w SRB 5}  Aleksa Konstantinov   7 5 0 7 7 0  26   zlatna medalja
{w SRB 6}  Andjela Sharkovic1   7 2 0 7 3 0  19   srebrna medalja
  Srbija ukupno 3511 1 3518 0  100

Tako vec1 deveti put zaredom imamo zlato u ekipi. Aleksa je delovao najsigurnije i praktichno (do na dva poena izgubljena u zhurbi) uradio chetiri zadatka - bio sam uveren da c1e dobiti srebro, ali srec1a prati hrabre. Andjela je odbranila proshlogodishnje srebro, ali nije pruzhila maksimum - vidi se da je malo radila ove godine. Ognjen je uradio pristojno, iako sam se nadao da c1e ili on ili Aleksa stariji uspeti neshto da urade i sa 3. zadatkom. Aleksa mladji ima josh chetiri shanse, za prvi put nije loshe, iskustvo c1e doc1i s vremenom, ali izgleda da mu je geometrija slaba tachka, shto se popravlja vezhbanjem. Sec1am se da je isti problem svojevremeno imao i Ivan, a on je sada bez problema reshio (lak ali neizrachunljiv) 4. zadatak. Marijana je, valjda u nastupu malodushnosti, prvog dana predala samo prazne koverte, zbog chega je verovatno izgubila medalju. Ne razumem. Ne predati nishta znachi nashkoditi i sebi i celoj ekipi, i iskreno se nadam da ovo vishe nikad nec1e pasti nekome na pamet. Ipak, pohvalno je shto drugog dana nije samo otishla da "overi nulu", nego se borila i ishchupala pohvalu.

Mozhete da pogledate i ekipne rezultate:

ZemljaPoeniZSB
1. SAD    185 5 1 -
2. Kina    181 4 2 -
3. Juzhna Koreja    161 3 1 2
4. Severna Koreja    156 3 3 -
5. Vijetnam    151 2 3 1
6. Australija    148 2 4 -
7. Iran    145 3 2 1
8. Rusija    141 - 6 -
9. Kanada    140 2 - 4
10. Singapur    139 1 4 1
11. Ukrajina    135 2 3 1
12. Tajland    134 2 3 1
13. Rumunija    132 1 4 1
14. Francuska    120 - 3 3
15. Hrvatska    119 1 3 1
16. Peru    118 2 2 1
17. Poljska    117 1 1 4
18. Tajvan    115 - 4 1
19. Meksiko    114 1 2 3
20. Madjarska    113 - 3 3
Turska    113 - 5 -
22. Brazil    109 - 3 3
Japan    109 - 3 3
Velika Britanija    109 - 4 1
25. Kazahstan    105 1 1 2
26. Jermenija    104 - 1 5
27. Nemachka    102 - 2 3
28. Hong Kong    101 - 2 3
29. Bugarska    100 - 2 1
Indonezija    100 - 2 4
Italija    100 1 2 -
Srbija    100 1 1 2
33. Bangladesh     97 - 1 4
Slovachka     97 - 2 3
35. Makao     88 - 1 2
ZemljaPoeniZSB
36. Filipini     87 - 2 2
37. Indija     86 - 1 2
38. Moldavija     85 - 1 2
39. Belorusija     84 - - 3
40. Izrael     83 1 - 2
41. Saudijska Arabija     81 - 1 3
42. Gruzija     80 - 1 3
43. Bosna i Hercegovina     76 - - 2
Holandija     76 - - 3
45. Cheshka     74 - - 3
Mongolija     74 - - 2
Shvajcarska     74 - - 3
48. Azerbejdzhan     73 - - 2
49. Kolumbija     72 - - 4
Novi Zeland     72 - - 2
51. Grchka     71 - 1 2
52. Argentina     70 - - 1
Portugal     70 - - 3
54. Sirija     69 - 1 1
55. Juzhna Afrika     68 - - 1
56. Belgija     67 - 1 -
57. Malezija     66 - - 3
58. Turkmenistan     64 - - 2
Uzbekistan     64 - - 3
60. Austrija     63 - - 3
Shvedska     63 - - 2
62. Alzhir     60 - 1 1
63. Kipar     58 - 1 -
64. Tadzhikistan (5)     57 - 1 1
65. Litvanija     54 - - 1
Norveshka     54 - 1 -
67. Kostarika     53 - - 2
Paragvaj     53 - - 3
69. Danska     52 - - 2
ZemljaPoeniZSB
70. Estonija     51 - - 1
Shri Lanka     51 - - -
72. Shpanija     47 - - 1
73. Slovenija     46 - - 1
74. Makedonija     45 - - 1
75. Island     41 - - -
Tunis (4)     41 - - 1
77. Albanija     37 - - -
Irska     37 - - -
79. Letonija     36 - - -
80. Ekvador     27 - - -
Maroko     27 - - -
82. Finska     26 - - -
Nikaragva (3)     26 - - -
Trinidad i Tobago (4)     26 - 1 -
85. Pakistan     25 - - 1
86. Kambodzha     24 - - -
Kosovo     24 - - -
88. Nigerija     22 - - -
89. Crna Gora (3)     19 - - 1
90. Lihtenshtajn (1)     18 - - 1
Portoriko (3)     18 - - 1
92. Kirgistan     17 - - -
93. Urugvaj     16 - - -
94. Kuba (1)     15 - - 1
95. Salvador (4)     14 - - -
96. Venecuela (2)     13 - - -
97. Chile (2)     12 - - -
Luksemburg (2)     12 - - -
99. Panama (3)      9 - - -
100. Uganda (5)      6 - - -
101. Bolivija (5)      5 - - -
Gana (5)      5 - - -
103. Bocvana      1 - - -
104. Tanzanija (3)      0 - - -

Nash ekipni rezultat je u granicama normale. Poeni su nam slabiji nego proshle godine, ali je i takmichenje sada bilo tezhe. Svakako smo zheleli bolje, a i brz pogled na uspeh nashih zapadnih komshija nam govori da ovim ne treba da budemo zadovoljni. S druge strane, ipak smo dosta napredovali posle katastrofe na Balkanijadi. Shta se to tada desilo, i dalje nam je misterija. Volim da verujem da su i intenzivne pripreme kojima smo maltretirali ekipu nakon Balkanijade doprinele da se uchenici vrate u formu.

Zashto istichem rezultat Hrvata kada ima josh 27 zemalja koje su bile bolje od nas? Valjda je jasno, cilj mi je da se zamislimo. Njihov ovako visok plasman nije splet okolnosti, vec1 rezultat ozbiljnog s;hvatanja Olimpijade i organizovanog rada poslednjih godina. Takodje, njihovi uchenici aktivno rade matematiku tokom sve chetiri godine srednje shkole.

Za razliku od njih, nashi uchenici u velikom broju sluchajeva poslednju godinu shkolovanja (chesto i dve) gotovo u potpunosti posvete odlasku na Kembridzh. Ovo c1e nam u buduc1nosti predstavljati veliki problem ako se neshto ne promeni. Dirnuc1u u tu "svetinju", pa me slobodno gadjajte jajima. Na stranu shtetna atmosfera "otic1i iz zemlje po svaku cenu" koja vlada vec1 godinama, otic1i na Kembridzh nije nikakav poseban uspeh. Kembridzh je samo sredstvo, on nije cilj. Cilj je matematika. Mozhda mislite da mozhete sebi da dozvolite bez posledica da par meseci ne radite matematiku? Greshite. Iz forme c1ete izac1i toliko brzo da je to zastrashujuc1e. Nije valjda da verujete da je to opravdano zarad "vishih ciljeva", i da u te vishe ciljeve svrstavate Kembridzh?

cosak
cosak cosak