Пријава     Регистрација    

српски serbian srpski english ufl

cosak

ИМОматх

Форум       Математичка питања

1-25 26-26


Математички форум:

Овде можете да постављате питања из математике и да дајете одговоре на питања која су други поставили.

Постављено: 03/30/2012 у 16:03:01       Аутор maticivan

Шта је све потребно проверити при решавању неједнакости Лагранжовим множиоцима, пре свега ме занима нешто више о провери на границама интервала.
\[ \]
Пример(ЈСМО 2011.) Одредити најмању вредност израза \( x+y+z+\frac{1}{xyz} \) за позитивне реалне бројеве \( x,y,z \) са особином \( x^2+y^2+z^2=1 \).
\[ \]
Уочимо Лагранжову функцију \( F(x,y,z)=x+y+z+\frac{1}{xyz}+\lambda (x^2+y^2+z^2-1) \) која достиже минимум када је:
\( F_x=1-\frac{1}{x^2yz}+2\lambda x = 0 ,F_y=1-\frac{1}{y^2xz}+2\lambda y = 0 ,F_z=1-\frac{1}{z^2xy}+2\lambda z = 0 \). Сада добијамо \( \frac{x^2yz-1}{x^2}=\frac{y^2zx-1}{y^2}=\frac{z^2xy-1}{z^2} \) одакле добијамо да је једино решење система (под условом да је \( x^2+y^2+z^2=1 \)) када су сви једнаки па заменом добијамо да је \( F(x,y,z)\geq F\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{10\sqrt{3}}{9} \).
\[ \]
Сада ме занима које још случајеве треба да проверим да бих био сигуран да је ово заправо минимум (да ли је то можда случај када \( x\rightarrow 1 \) и \( y,z\rightarrow 0^{+} \)).


Постављено: 06/16/2012 у 17:06:55       Аутор Maksim

Максиме, ставио си ме у незгодну ситуацију да причам о Лагранжовим множиоцима. Због тога морам да почнем једним упозорењем.

Комисија не воли да види кад средњошколац користи диференцијални рачун, посебно диференцијални рачун функција више променљивих. Лагранжови множиоци спадају у категорију онога што комисија не воли да види. То значи да ће комисија сваки могући знак непрецизности протумачити као неразумевање теорије. Е, то не ваља за онога коме је циљ да освоји пуно бодова.

Онај ко хоће може да научи диференцијални рачун функција више променљивих. Неопходан услов је, наравно, разумевање диференцијалног рачуна једне променљиве, и овај сајт ће да садржи неки такав материјал. Ова порука је уједно и позив добровољцима који знају о чему причам да се јаве и почну да пишу неки текст о диференцијалном рачуну.

Ово је поучан пример за Лагранжове множиоце: задатак је једноставан без њих (пробај!), а прилично незгодан са њима.

Е, сад оно што си тражио:

Прво задатак треба превести на језик проблема минимизације функције.

Претпоставимо да је \( g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 \). Наћи минимум функције \( f(x,y,z)=x+y+z+\frac1{xyz} \), где су \( x \), \( y \) и \( z \) позитивни реални бројеви који задовољавају услов \( g(x,y,z)=0 \).

Решење. Спорна теорема гласи: Уколико функција \( f \) достиже екстремну вредност у унутрашњости области у којој је дефинисана, онда се та екстремна вредност достиже у једној од критичних тачака.

Критична тачка је свака уређена тројка \( (x,y,z)\in\mathbb R^3 \) за коју је испуњен један од следећих седам услова:

  • \( 1^{\circ} \) функција \( f(x,y,z) \) није диференцијабилна

  • \( 2^{\circ} \) функција \( g(x,y,z) \) није диференцијабилна

  • \( 3^{\circ} \) градијент \( \nabla f(x,y,z) \) није непрекидан

  • \( 4^{\circ} \) градијент \( \nabla g(x,y,z) \) није непрекидан

  • \( 5^{\circ} \) градијент \( \nabla f(x,y,z) \) је нула-вектор, тј. \( \nabla f(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 6^{\circ} \) \( \nabla g(x,y,z)=\langle 0,0,0\rangle \)

  • \( 7^{\circ} \) Вектори \( \nabla f(x,y,z) \) и \( \nabla g(x,y,z) \) су различити од \( \overrightarrow{0} \) и паралелни.

Болна истина: Теорема не каже ништа о могућим максимумима и минимумима у тачкама које нису у унутрашности. То значи да ако је једна од координата \( (x,y,z) \) блиска нули, морамо нешто друго да радимо. У овом случају то је једноставно: Можемо да кажемо следеће: Ако је један од бројева \( x \), \( y \), или \( z \) мањи од \( 1/100 \), тада је \( \frac1{xyz}\geq 100\cdot \frac1{xy}\geq 100 \). Пошто тражимо апсолутни минимум, и пошто је \( f(1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3, 1/\sqrt 3)< 100 \), онда је апсолутни минимум уједно и критична тачка у унутрашности домена \[ \{(x,y,z): x> 1/100, y> 1/100, z > 1/100\}.\]

Чини ми се да је ово оно што си тражио. Међутим, хајде да завршим писање решења да и остали знају о чему се ради:

Полазимо од тога да је \[ \nabla f(x,y,z)=\left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle \quad \mbox{i} \] \[ \nabla g(x,y,z)=\langle 2x,2y,2z\rangle=2\langle x,y,z\rangle.\] Случајеви \( 1^{\circ} \)- \( 6^{\circ} \) се лако испитују и види се да нема критичних тачака ни у једном од њих.

Вектори су паралелни уколико постоји скалар \( \lambda \neq 0 \) такав да је \( \nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z) \), тј. уколико постоји скалар \( \lambda\neq 0 \) такав да је \[ \left\langle 1-\frac1{x^2yz},1-\frac1{xy^2z},1-\frac1{xyz^2}\right\rangle =2\lambda\cdot\langle x,y,z\rangle.\]

Назовимо \( \mu=2\lambda \). Популаран начин писања претходне векторске једначине је:

\[ 1-\frac1{x^2yz}=\mu x,\] \[ 1-\frac1{xy^2z}=\mu y,\] \[ 1-\frac1{xyz^2}=\mu z.\]

Такође, \( (x,y,z) \) морају да задовољавају услове задатка: \( g(x,y,z)=0 \), тј. \( x^2+y^2+z^2=1 \).

Пошто је \( x\neq 0 \), прву једначину смемо да поделимо са \( x \) и преведемо је у еквивалентну: \( \frac1x-\frac1{x^3yz}=\mu. \) На сличан начин друга једначина постаје \( \frac1y-\frac1{xy^3z}=\mu. \) Последње две релације дају

\[ \frac1x-\frac1y=\frac1{xyz}\cdot\left(\frac1{x^2}-\frac1{y^2}\right).\]

Сада разматрамо два случаја: Када је \( x=y \) и када је \( x\neq y \).

  • Посматрајмо прво случај \( x=y \). Сада проблем постаје: Наћи максимум функције \( \varphi(x,z)=2x+z+\frac1{x^2z} \) под условом \( 2x^2+z^2=1 \).

    Назовимо \( \psi(x,z)=2x^2+z^2 \) и поново тражимо критичне тачке. Случајеви \( 1^{\circ} \)-\( 6^{\circ} \) су једноставни. Остаје да нађемо оне парове \( (x,z) \) за које је \( \nabla \varphi(x,z)\|\nabla \psi(x,z) \), тј. за које постоји \( \nu\neq 0 \) такав да је \[ \left\langle 2-\frac2{x^3z}, 1-\frac1{x^2z^2}\right\rangle=\nu\langle 4x,2z\rangle.\] Послења релација даје: \( 1-\frac1{x^3z}=2\nu x \) и \( 1-\frac1{x^2z^2}=2\nu z \). Множењем прве једначине са \( x \) а друге са \( z \) добијамо: \[ x-\frac1{x^2z}=2\nu x^2\quad\quad\quad\quad\quad (1)\] \[ z-\frac1{x^2z}=2\nu z^2. \quad\quad\quad\quad\quad (2)\] Одузимањем (1) и (2) добијамо: \[ x-z=2\nu(x+z)(x-z).\] Ако је \( x=z \) добијамо \( x=z=y=\frac1{\sqrt 3} \) и то је једна критична тачка. Ако је \( x\neq z \), тада добијамо \( 2\nu(x+z)=1 \). Ако једначину (1) помножимо са 2 и додамо једначини (2) добијамо

    \[ 2x+z-\frac3{x^2z}=2\nu\cdot (2x^2+z^2)=2\nu=\frac1{x+z}.\]

    Сада обе стране помножимо са \( x+z \) и добијамо: \[ 2x^2+2xz+zx+z^2-\frac3{xz}-\frac3{x^2}=1\] \[ \Leftrightarrow xz=\frac1{xz}+\frac1{x^2}. \] Последња једначина нема решења за \( x< 1 \) и \( y< 1 \) јер је \( xz< 1 \), а \( \frac1{xz}+\frac1{x^2}> 1+0=1 \).

  • Посматрајмо сада случај \( x\neq y \). Тада је \( x^2y^2z=x+y \). Случај \( y=z \) се разматра као пре. Претпоставимо зато да је \( y\neq z \). На аналоган начин као горе, добијамо \( xy^2z^2=y+z \). Множењем обе стране са \( x \) доноси: \( x^2y^2z^2=yx+xz \), док једначина \( x^2y^2z=x+y \) је еквивалентна са \( x^2y^2z^2=xz+yz \). Одузимањем добијамо: \( yx=yz \), односно због \( y\neq 0 \): \( x=z \), што се разматра као случај горе.

Према томе, минимум функције се достиже за \( x=y=z=\frac1{\sqrt 3} \), и износи \( f\left(\frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}, \frac1{\sqrt 3}\right)=3\sqrt 3+3\sqrt 3=6\sqrt 3 \).



Постављено: 06/19/2012 у 01:06:10       Аутор maticivan

Хвала на одговору и слажем се са тим да би било лепо да постоји неки материјал о примени диференцијалног рачуна на овом сајту.
\[\]
Задатак који сам дао чинио ми се као добар пример за примену Лагранжових множиоца, али наравно да може да се реши и једноставном применом неједнакости између средина (ипак је задатак био на јуниорском такмичењу).
\[\]
Чини ми се да је могао мало брже да се доврши претходни задатак после дела са \( \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{xyz}\left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right) \) \( \Longleftrightarrow (x-y)\left(\frac{x+y-x^2y^2z}{x^2y^2z}\right) \) ако приметимо да је \( x+y-x^2y^2z> 0 \) под претпоставком да је \( x\geq y\geq z \).

Постављено: 06/19/2012 у 05:06:29       Аутор Maksim

На колико начина се бројеви -9, -8, ...-1, 1, 2 ... 9 могу распоредити на темена конвексног 18-угла тако да збир у суседним теменима не буде једнак нули ? .

Верујем да треба кренути од свих распореда, па одбити оне са нулама али како доћи до њиховог броја ?

Постављено: 08/18/2012 у 15:08:24       Аутор nepogoda

Овај задатак се једноставно своди на ménage problem.

Претпоставимо да су \( 1 \), \( 2 \), \( \dots \), \( 9 \) мушкарци, а \( -1 \), \( -2 \), \( \dots \), \( -9 \) њихове жене. Задатак је сада еквивалентан следећем:

На колико начина се девет брачних парова могу распоредити око округлог стола тако да нико не седи поред свог брачног друга?

Задатак се решава методом укључивања и искључивања, и крајњи резултат је огроман збир који није могуће средити и свести на лепу формулу. О овоме може више да се прочита у раду Non-sexist solution of the ménage problem кога су написали Kenneth P. Bogart и Peter G. Doyle.



Постављено: 11/16/2012 у 16:11:55       Аутор maticivan

Поштовани ,

имам једно математичко питање. Наиме занима ме да ли је могуће одредити остатак при дељењу 3^1000 са 125. (Уз помоћ конгруенција, ако је могуће).

Хвала унапред на одговору.

Милан Ч.

Постављено: 02/28/2014 у 13:02:35       Аутор Milan C

По Ојлеровој теореми је \( 3^{\varphi(125)}=3^{100}\equiv1\pmod{125} \). Дакле, \( 3^{1000}=(3^{100})^{10}\equiv1^{10}=1 \pmod{125} \). Може?

Ојлерова теорема: ако је \( n \) природан број и \( a \) цео број узајамно прост са \( n \), онда је \( a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n \).
Притом се \( \varphi(n) \) дефинише као \( \varphi(n)=n(1-\frac 1{p_1})(1-\frac 1{p_2})\cdots(1-\frac 1{p_k}) \), где је \( n=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} \) канонска факторизација броја \( n \) на просте чиниоце.

Извини због аутоматског ћириличења.

Постављено: 03/03/2014 у 21:03:48       Аутор dusandjukic

ОК.

Много сте ми помогли.
Ојлера се нисам сетио.

Поздрав!

Постављено: 03/04/2014 у 13:03:18       Аутор Milan C

Имам још једно питање за Вас....Овога пута мало тежи задатак.Наиме ,
Нека су ,АА1 , ББ1 ,  и ЦЦ1 висине троугла АБЦ, а ,А1А2 , Б1Б2  и Ц1Ц2 пречници кружнице 9
тачака за троугао АБЦ. Докажите да праве , АА2 , ББ2 и ЦЦ2 пролазе кроз једну
заједничку тачку.

Постављено: 03/07/2014 у 16:03:06       Аутор Milan C

Ух, чекај... колико знаш геометрије? Знаш ли шта су изогонално спрегнуте тачке? Ово је задатак релативно високог нивоа и не видим како може да се реши на нивоу Б категорије.

Теорема о изогонално спрегнутим тачкама: Нека је \( P \) произвољна тачка у равни троугла \( ABC \), а \( s_a,s_b,s_c \) редом симетрале његових углова код темена \( A,B,C \) (унутрашње или спољашње, свеједно је). Тада се праве симетричне правим \( AP,BP,CP \) редом у односу на \( s_a,s_b,s_c \) секу у једној тачки, рецимо \( P^{\prime} \), или су све три паралелне. Кажемо да је тачка \( P^{\prime} \) изогонално спрегнута тачки \( P \) у троуглу \( ABC \).

Решење задатка: Нека је \( H \) ортоцентар троугла \( ABC \). Средиште \( M \) дужи \( AH \) такође лежи на кругу девет тачака. Познато је да је права \( BC \) симетрала спољашњег угла \( B_1A_1C_1 \). Како је права \( MA_2 \) симетрична правој \( BC \) у односу на центар круга девет тачака, следи да је и \( MA_2 \) симетрала спољашњег угла \( B_2A_2C_2 \). Како је \( \angle AMA_2=\angle A_1MA_2=90^\circ \), троуглови \( AMA_2 \) и \( HMA_2 \) су подударни, тј. \( AA_2 \) и \( HA_2 \) су симетричне у односу на симетралу угла \( B_2A_2C_2 \). Према томе, тачка \( J \) изогонално спрегнута тачки \( H \) у троуглу \( A_2B_2C_2 \) лежи на правој \( AA_2 \). Аналогно и праве \( BB_2 \) и \( CC_2 \) пролазе кроз \( J \). \( \Box \)

Постављено: 03/08/2014 у 22:03:54       Аутор dusandjukic

Имам још једно ,,велико питање,,.Наиме занима ме докаѕ следеће тврдње : АКО ЈЕ У БРОЈЕВНОМ СИСТЕМУ СА ОСНОВОМ Б ЗБИР ЦИФАРА БРОЈА А ДЕЉИВ СА М , И АКО ЈЕ БРОЈ Б-1 ДЕЉИВ СА М , ТАДА М ДЕЛИ А.

Како доказати малопрепоменуту тврдњу ?
Како уопште разумети представљање броја у бројевном систему са основом 2014?

Хвала унапред на одговору.

Постављено: 03/10/2014 у 06:03:34       Аутор Milan C

Па да видимо шта је представљање броја \( a \) у систему са основом \( b \). Нека је \( a=a_1\cdot b+d_0 \) дељење броја \( a \) бројем \( b \) са остатком (\( d_0\in\{0,1,\dots,b-1\} \)). Настављамо поступак: \( a_1=a_2\cdot b+d_1 \), \( a_2=a_3\cdot b+d_2 \), итд. (\( d_1,d_2,\dots\in\{0,1,\dots,b-1\} \)), све док не добијемо \( a_{n+1}=0 \). Тада је \( a=a_1b+d_0=a_2b^2+ d_1b+d_0=\cdots=d_nb^n+d_{n-1}b^{n-1}+\cdots+d_1b+d_0=(\overline{d_nd_{n-1}\dots d_1d_0})_b \).

Како записујеш нпр. број \( 57206 \) у систему са основом 10? Цифре су бројеви 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
\( 57206=5720\cdot10+\mathbf{6} \), \( 5720=572\cdot10+\mathbf{0} \), \( 572=57\cdot10+\mathbf{2} \), \( 57=5\cdot10+\mathbf{7} \), \( 5=0\cdot10+\mathbf{5} \), и тако \( 57206=\mathbf{(\overline{57206})_{10}} \).
А како записујеш 57206 у систему са основом 9? Сада имаш само 9 цифара, и то су 0,1,2,3,4,5,6,7,8.
\( 57206=6356\cdot9+\mathbf{2} \), \( 6356=706\cdot9+\mathbf{2} \), \( 706=78\cdot9+\mathbf{4} \), \( 78=8\cdot9+\mathbf{6} \), \( 8=0\cdot9+\mathbf{8} \), и тако \( 57206=\mathbf{(\overline{86422})_9} \).
А у основи 2014? Имамо 2014 могућих цифара; пошто немамо толико слова, писаћемо их као (0),(1),(2),...,(2013).
\( 57206=28\cdot2014+\mathbf{814} \), \( 28=0\cdot2014+\mathbf{28} \), и тако \( 57206=\mathbf{(\overline{(28)(814)})_{2014}} \).

А сада да докажемо твој критеријум дељивости.
Дато ти је \( a=(\overline{d_n\dots d_1d_0})_b \), \( m\mid b-1 \) и \( m\mid d_n+\cdots+ d_1+d_0 \). Како је \( b\equiv1\pmod m \), следи \( b^k\equiv1\pmod m \) за све \( k \), па је тако \( a=d_nb^n+\cdots+d_1b+d_0\equiv d_n+\cdots+d_1+d_0 \equiv0\pmod m \), тј. \( m\mid a \). \( \Box \)

Препоручујем Увод у теорију бројева у издању Друштва математичара Србије (свеска 15).

Постављено: 03/10/2014 у 16:03:26       Аутор dusandjukic

Поштовани , још два метематичка питања од мене.

1.Ако је Р(н) број релација еквиваленције које се могу дефинисати на скупу од н елемената , доказати да је
Р(н+1)=∑_(н,к=0)* (н над к) * Р(к) , Р(0)=1.

2.Доказаати ,,полиномну,, формулу :

(x1+x2+...+xм)^н=∑_(к1+к2+...+км=н , Ки веће или једнако од 0 , и=1,2,...,м)н!*(x1^к1*x2^к2*...*xм^км)/к1!*к2!*...*км! . (Преферирао би доказ математичком индукцијом).



Хвала унапред на одговору.

Милан М. Чугуровић

Постављено: 04/10/2014 у 07:04:29       Аутор Milan C

1. Број класа еквиваленције.
\( P(n) \) је тзв. Белов број. Имаш доказ у Комбинаторици у издању ДМС, а иде овако: Нека је скуп у разматрању \( A \), \( |A|=n+1 \), а \( x \) његов елемент. Тај елемент \( x \) припада некој класи еквиваленције \( X \). Ако је \( |X|=k+1 \), онда \( X \) може да се одабере на \( \binom nk \) начина (тако да садржи \( x \)), а релацију еквиваленције на остатку скупа, тј. на скупу \( A\setminus X \) који има \( n-k \) елемената, можемо поставити на \( P(n-k) \) начина. Тако за дато \( k \) имамо \( \binom nk P(n-k) \) релација еквиваленције, при чему \( k \) иде од \( 0 \) до \( n \). Тако је \( P(n) \) укупно једнако \( \sum_{k=0}^n \binom nk P(n-k) \).

2. Полиномна формула.
Формула важи за \( m=2 \). Претпоставимо да важи за \( m-1 \) и докажимо је за \( m \). По индуктивној претпоставци је \[ (x_1+\cdots+x_m)^n=(x_1+\cdots+x_{m-2}+(x_{m-1}+x_m))^n=\sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}(x_{m-1}+x_m)^{k_{m-1}^{\prime}}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}^{\prime}=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}^{\prime}!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}\sum_{k_{m-1}+k_m=k_{m-1}^{\prime}}\frac{k_{m-1}^{\prime}!}{k_{m-1}!k_m!}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}=\] \[ \sum_{k_1+\cdots+k_{m-2}+k_{m-1}+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_{m-2}!k_{m-1}!k_m!} x_1^{k_1}\cdots x_{m-2}^{k_{m-2}}x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}.\]


Постављено: 04/11/2014 у 20:04:56       Аутор dusandjukic

Поштовани, имам једно математичко питање за Вас: ако је б поредак броја а по модулу п( п је непаран прост број) и п^н||а^б - 1 ,доказати да је (п^м) * б поредак броја а по модулу п^(н +м).Сви поменути бројеви су природни,док м може бити и нула. Хвала унапред.

Постављено: 04/15/2014 у 22:04:35       Аутор Warlus

Постовани , имам нерешен задатак :

На једној тежишној линији троугла АБЦ одабрати тачку М тако да збир

ѕ = МА^2+МБ^2+МЦ^2 има минималну вредност.
РЕШЕЊУ ДАТИ ГЕОМЕТРИЈСКУ ИНТЕРПРЕТАЦИЈУ.

Интересантна је прича око овог задатка . Ниме задатак се појавио 1956. године на пријемном испиту за етф и од 390 такмичара ни један га није решио у потпуности.

Хвала унапред на одоговору.

Милан М. Чугуровић

Постављено: 04/17/2014 у 15:04:47       Аутор Milan C

Споља приписана кружница троугла....ништа не могу да нађем о њој само да
додирује страницу троугла у додирној тачки а да су остале 2 странице тог
троугла тангенте на ту кружницу.Како рачунамо њен полупречник?Каква је веза страница троугла и попупречника?Како је конструишемо?И постоје ли још какве особине те
кружнице?

Постављено: 11/10/2014 у 14:11:18       Аутор Dalibor D

То је прилично основни појам у геометрији троугла, па о њему има много да се прича. Центар приписаног круга у троуглу \( ABC \) наспрам темена \( A \) је у тачки пресека унутрашње симетрале угла \( BAC \) и спољашњих симетрала углова \( ABC \) и \( ACB \). Полупречник му је \( \frac{2P}{b+c-a} \).

Сналазиш се са енглеским? http://en.wikipedia.org/wiki/Incircle_and_excircles_of_a_triangle
Овде нема много, али бар је на српском: http://www.elemenat.com/archive/nauka/math/trougao.htm

Постављено: 11/10/2014 у 16:11:16       Аутор dusandjukic

Хтео бих да вас питам како се решава следећи задатак (1. разред А категорија,општинско 2002.):
Доказати да \( 3n^2+3n+7 \) не може бити куб ниједног природног броја.

Постављено: 12/09/2015 у 09:12:39       Аутор Grigorij Perelman

По модулу 9. Куб целог броја даје остатке \( 0,1,8 \), а број \( 3n^2+3n+7 \) даје остатак \( 4 \) или \( 7 \).

Постављено: 12/09/2015 у 14:12:01       Аутор dusandjukic

Да ли постоји 10 природних бројева таквих да ниједан од њих није дељив ниједним од преосталих 9 бројева, а да су квадрати тих бројева дељиви са свих преосталих 9 бројева?

Постављено: 01/20/2017 у 11:01:56       Аутор nujabes

Ти знаш одговор? Да не јурим.

Па добро, нпр. \( 2^{10}\cdot3^{19},2^{11}\cdot3^{18},\dots,2^{19}\cdot3^{10} \).

Постављено: 01/20/2017 у 16:01:00       Аутор dusandjukic

Имам питање у вези са доказом једног лимеса. Реч је о \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} \]. Да ли је овај доказ исправан: \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=\lim_{n\to \infty} a^{\frac{1}{n}}=a^{\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}}=a^0=1\]. Питам зато што сам у некој литератури нашао нешто компликованији доказ, па се питам да ли се може упростити на овај начин.

Постављено: 05/21/2017 у 18:05:24       Аутор J.Gr. Dr.

Овај доказ је у реду јер је \( f(x)=a^x \) непрекидна функција. Тај други доказ нисам видео, али верујем да је и он у реду.

Постављено: 05/23/2017 у 19:05:57       Аутор dusandjukic


cosak
cosak cosak