Prijava     Registracija    

српски serbian srpski english ufl

cosak

57. Međunarodna matematička olimpijada 2016.

~~~~~ Dušan Đukić ~~~~~


Upozorenje: Izveštaj koji sledi sadrži lične stavove autora koji nije mašina (mada radi na Mašinskom fakultetu) i samim tim se nije trudio da ih zadrži za sebe.

 

57. Međunarodna matematička olimpijada je održana od 6. do 16. jula 2016. u Hong Kongu. Ekipa Srbije je odabrana na osnovu rezultata Srpske matematičke olimpijade za srednje škole, održane 1. i 2. aprila u Beogradu, i dodatnog izbornog takmičenja održanog 5. aprila zbog deobe mesta:

  • Igor Medvedev, 2. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Nikola Pavlović, 2. razred gimnazije "Jovan Jovanović Zmaj" u Novom Sadu;
  • Aleksa Milojević, 1. razred Matematičke gimnazije u Beogradu
  • Ognjen Tošić, 3. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Aleksa Konstantinov, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu;
  • Nikola Sadovek, 4. razred Matematičke gimnazije u Beogradu.

Ekipom su rukovodili Dušan Đukić sa Mašinskog fakulteta i Marko Radovanović sa Matematičkog fakulteta Univerziteta u Beogradu. Odlazak ekipe na olimpijadu finansirali su Društvo matematičara Srbije i NIS.

Pripreme ekipe pred MMO su održane u toku juna, u Matematičkoj gimnaziji i u Hemijsko-medicinskoj školi u Vršcu. Pripreme su se sastojale od 4 časa dnevno, a u Vršcu je neizostavni deo priprema činio i samostalan rad na odabranim zadacima iz tzv. šortliste (užeg izbora predloga zadataka) za MMO 2015. Pripreme je finansijski podržala i Matematička gimnazija. Predavanja su držali Bojan Bašić, Dušan Đukić, Aleksandar Pejčev i Marko Radovanović.

Hong Kong

Teritorija Hong Konga se sastoji od nekoliko gusto naseljenih ostrva na jugoistoku Kine i nevelikog dela kopna. U njemu na 1104 kvadratna kilometra živi oko 7 miliona ljudi, uglavnom Kineza. Nalazi se neposredno ispod povratnika, ali ima vlažnu suptropsku klimu - zime su primetno hladnije od leta. Inače, samo ime Hong Kong na lokalnom kineskom znači "mirisna luka".

Iako funkcioniše praktično kao nezavisna država, do 1997. je pripadao Britaniji, a danas pripada Kini. Ovdašnji Kinezi uglavnom govore kantonski, južni dijalekat kineskog jezika teško razumljiv stanovnicima Pekinga ili Šangaja. Suprotno uvreženom mišljenju, Hong Kong nije bio iznajmljen Britancima na 99 godina - iznajmljene su bile pristupne teritorije na kineskom kopnu, dok je sam Hong Kong bio britanska kolonija od Opijumskog rata 1841. Za vreme Drugog svetskog rata njime su vladali Japanci. Kada je otkup pristupnih teritorija istekao, a Kina ojačala, Britanci su bili prinuđeni da se povuku i odavde. Ipak, osvajači su ostavili trag: iako se Hong Kong neočekivano brzo pretvorio gotovo u ‘‘pravu Kinu‘‘, ovde još uvek veći deo naroda zna engleski, a vozi se levom stranom.

U periodu nakon Drugog svetskog rata, Hong Kong je industrijalizovan i potom pretvoren u finansijsko središte. Zbog velikog broja ljudi na maloj površini, cena zemljišta je vrtoglavo rasla, pa je danas ovo jedan od najskupljih gradova na svetu. Posledica toga je i njegov današnji prepoznatljiv izgled, načičkan zbijenim oblakoderima u priobalju i na padinama okolnih brda. Od nekadašnje kolonijalne arhitekture nije mnogo ostalo.

Nedaleko od Hong Konga nalazi se i druga autonomna jedinica u okviru Kine - Makao, portugalska kolonija od 16. veka do 1999. Ovde je kolonijalna zaostavština znatno bolje očuvana. Kao svojevrsna dopuna Hong Kongu, Makao se poslednjih decenija pretvorio u kockarsko središte.



Gore: pogled na Hong Kong; dole: kolonijalna arhitektura u Makau

Zadaci i koordinacija

Takmičari su radili šest zadataka odabranih iz šortliste od 32 zadatka - prvi i četvrti su predviđeni da budu laki, drugi i peti srednje težine, a treći i šesti teški. Pravilo Džefa Smita, po kome svaka od četiri osnovne oblasti treba da bude zastupljena među četiri laka i srednja zadatka, praktično se podrazumeva, iako se još uvek usvaja samo za tekuću godinu.

zadaci:                            rešenja:

Što se tiče šortliste, bilo je dosta pritužbi na njenu lepotu i kvalitet. Zaista, svi članovi problemske komisije su bili Kinezi iz Hong Konga koji očigledno imaju drugačiji ukus. S druge strane, ne mogu da poreknem da je, za razliku od većine šortlista prethodnih godina, njena težina bila pristojno izbalansirana.

  • 1. zadatak: Geometrija koja ne izgleda mnogo zanimljivo, po mom mišljenju možda ne najlakša u šortlisti, ali na svaki način pravolinijska. Svašta na slici ispadne kolinearno ili konciklično, a čini se da je i sam zadatak nastao prikrivanjem simetrije u konfiguraciji. Naši učenici ovde nisu omanuli.

  • 2. zadatak: Ovo je u nekim zemljama tipski zadatak, ali našim učenicima nije odgovarao. Konstrukcija primera za \( 9\mid n \) je nosila 2 prilično jeftina poena. Trojici takmičara smo uzeli te poene. Ipak, Nikola mlađi i Ognjen nemaju ni to. Izgleda da su od ovog zadatka brzo digli ruke, što je šteta - recimo, na ovakvim zadacima neki opšti primer sigurno nešto vredi. Drugi deo zadatka, dokaz da mora biti \( 9\mid n \), svodio se na jednostavno prebrojavanje na dva načina. Ključ je u posmatranju "srećnih" polja tablice (polja \( (i,j) \) u kojima je \( i\equiv j\equiv2\pmod3 \)), što se zadatak ni ne trudi da sakrije. Aleksa mlađi je to uradio i pristojno ispisao, ostavljajući nam lak posao. Inače, koordinatori su davali po poen za praktično bilo kakvo smisleno prebrojavanje, a Ognjen je u skicama imao više takvih pokušaja - bilo nam je teško da poverujemo da ama-baš-ništa od toga nije do kraja izbrojao.

  • 3. zadatak: Ovo je zvanično teorija brojeva, mada u stvari ima elemente svake od četiri osnovne oblasti. Indukcija je očekivana, Pikova teorema još više, Ptolomejeva teorema će se verovatno upotrebiti, stepeni prostih brojeva se prirodno posmatraju. Ipak, teško je sve povezati. Takođe, pokušaj da se dođe do nekog pogodnog izraza za površinu završava se verovatnim neuspehom. U našoj ekipi samo Ognjen ima 1 poen. Naime, on je posmatrao Gausove cele brojeve i nije uradio mnogo toga korisnog - koordinatori su na svaki način pokušali da izbegnu da mu daju poen, ali šema za ocenjivanje bila je neumoljiva.

  • 4. zadatak: Nakon aritmetičkog početka zadatak se svodi na kombinatorno ispitivanje slučajeva. Imamo pet tačnih rešenja sa manje ili više čitljivim ispisom, i pet sedmica smo brzo dobili. Ipak, nije nemoguće da ovde neko pogreši, i to se desilo Nikoli mlađem koji je nakon nepotpunog argumenta za \( b=5 \) "dokazao" da mirisan skup ne postoji ni za \( b=6 \). Koordinatori su njegov rad procenili na 4 poena, ali primetivši blagu nesigurnost u njihovim tvrdnjama, nismo odustajali dok mu najzad nismo iščupali 5. Koordinaciju ovog zadatka smo poslednju završili.

  • 5. zadatak: Mada se svodi na elementarnu polinomsku jednačinu, bitan deo zadatka je konstrukcija primera. Trivijalna procena \( k\geqslant2016 \) nije nosila poene, ali se zato na raznim korisnim zapažanjima o rasporedu faktora koje bi trebalo obrisati moglo dobiti do 2 poena. Sa izuzetkom Alekse starijeg, to su i svi poeni koje smo dobili. Aleksa stariji je imao traženi primer (koji su verovatno imali i svi ostali takmičari koji su rešili zadatak), ali nije imao dokaz u slučaju da su obe strane jednačine negativne. Sve u svemu, ukupno imamo 9 poena. Utisak je da smo ovde morali mnogo bolje.

  • 6. zadatak: Mada bi malo ko nazvao rešenje ovog zadatka teškim, njegova težina je delom ležala u činjenici da je zadat kao 6-ti zadatak. Primer za neparno \( n \) je bilo lako naslutiti, jednostavno dokazati, i prirodno izvesti iz njega dokaz nemogućnosti za parno \( n \). Ipak, zadatak spada u trikove - ono što je lako može biti nevidljivo. Aleksa mlađi je naslutio primer za \( 2\nmid n \) i dobio naš jedini poen ovde. U sećanje mi se vraćaju zadaci 2 i 5 sa ovogodišnje SMO: slični po težini, naizgled sasvim laki, ali tragično urađeni.

Rezultati

Završni sastanak žirija je održan 14-tog uveče, nakon koordinacije. Kao i uvek, ogromnu većinu članova žirija zanima samo jedno - granice za medalje, a o njima se odlučuje na kraju sastanka. Najzad, glasanje sa skrivenim predloženim granicama za medalje, i opet je izglasana opcija sa najvišim granicama. Dva stvarno laka zadatka, još dva sa darežljivim šemama za ocenjivanje, i posledica je visokih 16 poena za bronzu. Nasuprot tome, 22 za srebro i, što nas nažalost ne zanima, relativno niskih 29 za zlato.

Da sumiramo naše rezultate:

SRB 1  Igor Medvedev   7 2 0 7 2 0    18    bronzana medalja  
SRB 2  Nikola Pavlović   7 0 0 5 0 0    12    pohvala  
SRB 3  Aleksa Milojević   7 7 0 7 1 1    23    srebrna medalja  
SRB 4  Ognjen Tošić   7 0 1 7 2 0    17    bronzana medalja  
SRB 5  Aleksa Konstantinov   7 2 0 7 4 0    20    bronzana medalja  
SRB 6  Nikola Sadovek   7 2 0 7 0 0    16    bronzana medalja  
  Srbija ukupno  4213 1 40 9  1   106  

Osvajač srebrne medalje Aleksa mlađi puno je napredovao u odnosu na prošlu godinu i, što posebno raduje, nastavlja da radi i zadržava ambicije. Veterani u ekipi su i Ognjen i drugi Aleksa. Oni su uradili prihvatljivo, ovaj drugi je bio i blizu srebra, ali nisu napredovali. Nisam iznenađen jer sam ih posmatrao tokom godine, ali znam da su imali dovoljno tehnike da urade npr. peti zadatak. Tri nova člana ekipe isto su uradili pristojno. Mada im je ovo bilo dovoljno za medalju, Igor i Nikola stariji imaju kombinatorne sklonosti i očekivao sam da urade i drugi zadatak. Nikola mlađi može da uradi dosta, ali mu treba i dosta vremena. Bez medalje je ostao delom zbog greške na 4. zadatku, a delom zbog nesnalažljivosti i odsustva parcijalnog napretka na neurađenim zadacima na kojima je rado predavao prazne koverte. Sve u svemu, ostaje utisak koji nas prati još od SMO i BMO - ekipa se dobro snalazi na lakim zadacima (prvi i četvrti), ali na srednjim (drugi i peti) jako slabo.


Sleva nadesno: Marko Radovanović, Aleksa Konstantinov, Aleksa Milojević, Ognjen Tošić, Nikola Sadovek, Igor Medvedev, Nikola Pavlović, Dušan Đukić

Ekipni rezultati su ovakvi:

ZemljaPoeniZSB
  1. SAD    214 6 - -
  2. Južna Koreja    207 4 2 -
  3. Kina    204 4 2 -
  4. Singapur    196 4 2 -
  5. Tajvan    175 3 3 -
  6. Severna Koreja    168 2 4 -
  7. Rusija    165 4 1 1
Velika Britanija    165 2 4 -
  9. Hong Kong    161 3 2 1
10. Japan    156 1 4 1
11. Vijetnam    151 1 4 1
12. Kanada    148 2 2 1
Tajland    148 2 2 1
14. Mađarska    145 1 3 2
15. Brazil    138 - 5 1
Italija    138 1 3 -
17. Filipini    133 2 2 -
18. Bugarska    132 - 3 3
19. Nemačka    131 - 3 3
20. Indonezija    130 - 3 3
Rumunija    130 - 5 1
22. Izrael    127 - 3 3
23. Meksiko    126 - 4 1
24. Iran    125 - 3 3
25. Australija    124 - 2 4
Peru    124 - 2 3
Francuska    124 - 3 2
28. Kazahstan    122 1 1 3
29. Turska    121 - 2 4
30. Jermenija    118 - 1 4
Ukrajina    118 - 2 4
Hrvatska    118 - 1 4
33. Mongolija    115 - 2 2
34. Indija    113 - 1 5
35. Bangladeš    112 - 1 3
Belorusija    112 - 1 4
 
ZemljaPoeniZSB
37. Češka    109 - 2 1
Švedska    109 - 3 -
39. Makao    108 1 1 -
40. Srbija    106 - 1 4
41. Saudijska Arabija    104 - - 4
42. Poljska    102 - 2 2
43. Švajcarska     99 - 1 4
44. Holandija     98 - - 3
45. Bosna i Hercegovina     97 - - 4
46. Austrija     89 - - 3
47. Portugal     88 - - 1
48. Sirija     87 - - 3
49. Španija     86 - - 2
50. Grčka     84 - - 2
Litvanija     84 - - 3
52. Belgija     82 - - 3
53. Novi Zeland     81 - 1 1
54. Azerbejdžan     79 - - 1
55. Slovačka     78 - - 2
56. Malezija     77 - - 2
57. Argentina     75 - - 2
58. Južna Afrika     73 - - 1
59. Gruzija     69 - - 1
Kostarika     69 - - 2
61. Estonija     67 - - 1
62. Tadžikistan     66 - - -
63. Kipar     65 - 1 -
Moldavija     65 - - 1
Slovenija     65 - - -
66. Kolumbija     63 - - 2
Šri Lanka     63 - - 1
68. Salvador (5)     60 - - 1
69. Albanija     58 - - 1
Turkmenistan     58 - - -
71. Paragvaj     55 - - 2
Finska     55 - - -
73. Makedonija     53 - - -
ZemljaPoeniZSB
  74. Letonija     52 - - -
  75. Irska     51 - - -
  76. Tunis     50 - - -
  77. Kosovo     47 - - 1
Uzbekistan     47 - - 1
  79. Maroko     46 - - 1
  80. Nikaragva (5)     45 - - 1
  81. Danska     44 - - -
  82. Alžir (4)     41 - - -
  83. Ekvador     38 - - -
  84. Kirgistan     34 - - -
Norveška     34 - - -
  86. Venecuela (3)     29 - - 1
  87. Portoriko (2)     27 - - 1
  88. Nigerija     24 - - -
Crna Gora (2)     24 - 1 -
  90. Island     23 - - -
  91. Pakistan     18 - - -
Čile (3)     18 - - -
  93. Urugvaj (1)     17 - - 1
  94. Trinidad i Tobago (4)     15 - - -
  95. Luksemburg (3)     14 - - -
  96. Kambodža     13 - - -
Mjanmar     13 - - -
  98. Uganda     12 - - -
  99. Kenija     11 - - -
100. Honduras (2)     10 - - -
Madagaskar (5)     10 - - -
102. Jamajka (1)      9 - - -
103. Bocvana      7 - - -
104. Gana (3)      5 - - -
Egipat (5)      5 - - -
106. Tanzanija (2)      3 - - -
107. Irak (5)      2 - - -
Lihtenštajn (1)      2 - - -
109. Laos      0 - - -
 

Neću se zaletati izjavama da je ovo naš najgori ekipni plasman ikada, ali da je dobar - nije. Takmičari su malo poleteli nakon prvog ekipnog mesta na Balkanijadi, a od njega je sada ostala samo još jedna potvrda da plasman na Balkanijadi ne znači mnogo. S druge strane, ne mogu mnogo da zamerim takmičarima. Možda se nisu svi baš pretrgli od rada, ali lake zadatke su uglavnom uradili, a naše savete da ih pažljivo ispišu ("razmislite na čemu bi u ovom zadatku koordinatori mogli da daju šest poena!") su ozbiljno shvatili. Međutim, ako van lakih zadataka imamo samo jedno tačno rešenje, verovatno ne možemo očekivati mnogo bolji ekipni plasman. Da li je razlog slabija ekipa ili nesrećna kombinacija zadataka, pitanje je na koje ne bi trebalo da godinu dana čekamo odgovor.

cosak
cosak cosak